ВЫСОТА ИДЕАЛА

ВЫСОТА ИДЕАЛА - минимум высот простых идеалов, содержащих данный идеал. Высота ht(ℬ) простого идеала ℬ кольце А - наибольшее число h (или ∞, если такого числа нет) такое, что существует цепочка различных простых идеалов

ℬ₀ ⊂ ℬ₁ ⊂ ... ⊂ ℬ_h = ℬ.

Ковысота coht(ℬ) простого идеала ℬ определяется как наибольшее h, для к-рого существует цепочка простых идеалов

ℬ = ℬ₀ ⊂ ℬ₁ ⊂ ... ⊂ ℬ_h ≠ А.

Иначе говоря,

ht (ℬ) = dim (А_ℬ), coht (ℬ) = dim (А/ℬ),

где dim означает размерность соответствующего кольца по Круллю. Высота простого идеала равна коразмерности многообразия, определяемого идеалом, а ковысота -размерности этого многообразия. Высота и ковысота простого идеала связаны неравенством

ht (ℬ) + coht (ℬ) ≤ dim А,

равенство достигается, напр., в случае, когда A - локальное Коэна-Маколея кольцо.

Простые идеалы высоты 0 - это минимальные простые идеалы. Существование в нётеровой области целостности простых идеалов высоты 1 устанавливает теорема о главном идеале: высота ненулевого главного идеала равна 1 (см. Крулля кольцо). Более общий результат - теорема Крулля - связывает высоту с числом образующих идеала: в нётеровом кольце В. и., порожденного r элементами, не превосходит r, и обратно: простой идеал высоты r является минимальным среди простых идеалов, содержащих некоторые r элементов. В частности, в нётеровом кольце любой идеал имеет конечную высоту; в отношении ковысоты это уже не так (см. [2]).

Лит.: [1] Кrull W., Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen, В.-Lpz., 1928; [2] Nagata M., Local rings, N. Y., 1962; [3] 3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [4] Серр Ж.-П., «Математика», 1963, т. 7, № 5, С. 3-93.

В. И. Данилов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.