ВЫРОЖДЕННОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

ВЫРОЖДЕННОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ - дифференциальное уравнение с частными производными

F(x, Du) = 0, (1)

где действительная функция F(х, q) удовлетворяет условиям:

(2)

для всех действительных ξ и существует ξ ≠ 0, при к-ром в соотношении (2) достигается равенство. Здесь: х есть n-мерный вектор (x₁, ..., x_n); u(х)- искомая функция, α - мультииндекс (α₁, ..., α_n); Du - вектор с компонентами

причем в уравнение (1) входят производные порядка не выше m; qα - компоненты вектора q; ξ есть n-мерный вектор (ξ1, ..., ξn) и ξα = ξα11, ..., ξαnn). Если в соотношении (2) для к.-л. x и Du и для всех действительных ξ ≠ 0 выполняется строгое неравенство, то уравнение (1) в точке (х, Du) является эллиптическим. Уравнение (1) вырождается в тех точках (х, Du), где соотношение (2) обращается в равенство для к.-л. действительного ξ ≠ 0. Если равенство достигается лишь на границе рассматриваемой области, то уравнение наз. вырождающимся на границе области. Наиболее исследованы линейные В. э. у. 2-го порядка

∑ а^ik(х) u_xixk + ∑ bⁱ(х) u_xi + с(x) u = f (х),

где матрица неотрицательно определенная для всех рассматриваемых значений х.

См. также ст. Вырожденное уравнение с частными производными и лит. при ней.

А. М. Ильин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.