НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ

ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ с частными производными - дифференциальное уравнение с частными производными, тип к-рого вырождается в нек-рых точках области задания уравнения или на ее границе. Тип уравнения или системы уравнений в точке определяется одним или несколькими алгебраич. соотношениями между коэффициентами. Среди этих соотношений имеются, как правило, строгие неравенства. Если в нек-рых точках рассматриваемой области вместо строгих неравенств выполняются нестрогие, то говорят о вырождении типа, а уравнение (система уравнений) наз. вырождающимся, или вырожденным. Различают вырожденные эллиптические уравнения, вырожденные гиперболические уравнения, вырожденные параболические уравнения (системы уравнений).

Примеры:

хux4 + uy4 + uz4 + ux = 0

- вырожденное эллиптич. уравнение в полупространстве х ≥ 0;

y2uyy - uxx = 0

- вырожденное гиперболич. уравнение во всей плоскости;

-ut + uyy + уux = 0

- вырожденное параболич. уравнение в области t ≥ 0;

yux - vy = 0, uy + vx = 0

- вырожденная эллиптич. система при у ≥ 0.

В. у. встречаются в теории пограничного слоя, в безмоментной теории оболочек, в теории диффузионных процессов, в частности в теории броуновского движения, и во многих других задачах механики и физики.

Исследования В. у. ведутся по двум тесно связанным между собой направлениям: 1) доказывается разрешимость краевых задач с учетом тех изменений в постановке, к-рые происходят в силу вырождения типа; 2) устанавливаются свойства решений, аналогичные свойствам невырожденных уравнений (гладкость, неравенства Гарнака для эллиптич. и параболич. уравнений и т. п.).

Наиболее полно изучены В. у. 2-го порядка эллиптич. и параболич. типов (строго говоря, параболич. уравнение тоже можно считать вырожденным эллиптич. уравнением, удовлетворяющим дополнительным условиям). В случае, когда вырождение типа имеется не только на границе, но и во внутренних точках (напр., во всех точках рассматриваемой области), такие уравнения называют еще уравнениями с неотрицательной характеристической формой, эллиптикопараболическими уравнениями, ультрапараболическими уравнениями.

Особенностью В. у. является специфич. постановка краевых задач. Граничные условия иногда приходится задавать не на всей границе, а на ее части. М. В. Келдыш впервые обратил внимание на зависимость постановки краевой задачи от характера вырождения эллиптич. уравнения на границе. Для общего эллиптикопараболич. уравнения 2-го порядка

aik(х) uxixk + bl(х)uxi + c(x)u = f(х); aikξiξk ≥ 0, (*)

первая краевая задача ставится следующим образом. Пусть Г - граница рассматриваемой области D, n = (n1, ..., nm) - внутренняя нормаль к Г, а Г̃ - та часть Г, где аiknink = 0 и (bi - аijxj)ni ≥ 0. Требуется найти решение уравнения (*) в области D так, чтобы u|Г\Г̃ = φ. Выли доказаны существование и единственность обобщенного решения этой задачи и указаны достаточные условия, при к-рых обобщенное решение будет гладким.

Так как частным случаем В. у. являются уравнения 1-го порядка, то ясно, что решения вырожденных эллиптич. уравнений, вообще говоря, не будут гладкими внутри области, если граничные условия недостаточно гладкие. Однако примеры показывают, что и при бесконечно дифференцируемых граничных условиях и коэффициентах В. у. его решения могут не быть бесконечно дифференцируемыми. Найдено условие гипоэллиптичности для общего вырожденного эллиптич. уравнения 2-го порядка.

Свойства решений вырожденных эллиптич. и параболич. уравнений 2-го порядка изучаются как с помощью геометрич. методов, так и с помощью методов теории вероятностей.

Большинство исследований вырожденных гиперболич. уравнений относится к уравнениям 2-го порядка с двумя независимыми переменными, вырождающимся на границе области. Эти работы стимулировались прежде всего изучением уравнений смешанного типа и связанных с ними задач газовой динамики. Для иллюстрации возникающих здесь вопросов рассмотрим задачу Коши (u(х, 0) = α(х), uy(х, 0) = β(х)) для уравнения с главной частью uyy - уmuxx. При m < 2 эта задача имеет единственное решение, а при m > 2 задача Коши, вообще говоря, некорректна. Для уравнения с главной частью ymuyy - uxx задача Коши с данными на линии вырождения поставлена корректно при 0 < m < 1. Если m ≥ 1, то так же, как и для эллиптич. уравнения, постановка задачи, вообще говоря, видоизменяется. Вместо uy(х, 0) задается limy→0 ρ(y) uy(x, y), где ρ(у) - нек-рая положительная функция, зависящая от коэффициентов уравнения.

Для гиперболич. уравнения с большим числом пространственных переменных

utt - (aij(t, х) uxi)xj + bi(t, х)uxi + b(t, х) ut + c(t, x)u = f,

вырождающегося как на начальной плоскости t = 0, так и внутри области, доказана корректность задачи Коши при выполнении нек-рых условий. Наиболее существенным из этих условий является выполнение неравенства

где α и А - нек-рые положительные постоянные.

Ряд результатов для линейных В. у. переносится и на квазилинейные уравнения.

Лит.: [1] Олейник О. А., Радкевич Е. В., Итоги науки. Математический анализ. 1969, М., 1971, с. 7-252; [2] Смирнов М. М., Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, М., 1966.

А. М. Ильин.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru