ВЫРОЖДЕННОЕ ПОЛОЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ

ВЫРОЖДЕННОЕ ПОЛОЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ системы обыкновенных дифференциальных уравнений ẋ = f(х) - точка х₀, для к-рой f(x₀) = 0 и матрица ∂f/∂x(х₀) имеет нулевые собственные значения. Наиболее изучены В. п. р. двумерных систем, для к-рых развит ряд методов исследования поведения траекторий в окрестности В. п. р., напр. методы Бендиксона (см. [1], [2], [4]), Фроммера (см. [3], [4]). В пространствах более двух измерений предлагались геометрич. методы исследования, состоявшие в основном из выделения главных членов в правых частях уравнений и из доказательства сохранения поведения траекторий при переходе от укороченного к полному уравнению (см. [5]). Если отображение f достаточное число раз дифференцируемо или аналитично, то можно рассматривать степень вырожденности (степень негрубости) положения равновесия в зависимости от того, на сколько невырожденных положений равновесия может распасться данное В. п. р. при изменении f, малом в смысле С^r-топологии.

Лит.: [1] Веndiхsоn I., «Acta Math.», 1901, v. 24, p. 1-88; [2] Андpонов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г., Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; [3] Frommer М., «Math. Ann.», 1928, Bd 99, S. 222-72; [4] Heмыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л.,1949; [5] Брюно А. Д., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1965, т. 29, № 2, с. 329-64.

Л. Э. Рейзинь.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.