ВЫРОЖДЕННОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

ВЫРОЖДЕННОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, конфлюэнтное уравнение - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

zw'' + (γ - z)w' - αw = 0, α, γ = const, (1)

или, в самосопряженной форме,

(e^-zz^γw')' - αe^-zz^γ-1w = 0.

Переменные z, w и параметры α, γ в общем случае могут принимать любые комплексные значения. Приведенной формой уравнения (1) является Уиттекера уравнение. Уравнение (1) тесно связано с гипергеометрическим уравнением. В. г. у. можно рассматривать как уравнение, получающееся из Римана дифференциального уравнения при слиянии двух особых точек. Точка х = 0 является для уравнения (1) регулярной особой точкой, а точка х = ∞ - сильно особой (см. Особая точка дифференциального уравнения). Впервые систематич. изучение решений уравнения (1) предпринял Э. Куммер [1].

Решения уравнения (1) выражаются через вырожденную гипер геометрическую функцию Ф(α, γ; z). Если у не равно целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде

w = C₁(α, γ, 2) + С₂^{1 - γ}Ф; + 1 - γ, 2 - γ; z), (2)

где C₁, С₂- произвольные постоянные; это представление справедливо в комплексной плоскости z с разрезом (-∞, 0). Для целых значений γ общее решение имеет более сложный вид (возможно существование членов, содержащих логарифмы). В качестве фундаментальной системы решений уравнения (1) можно выбирать и иные функции, отличные от указанных в (2) (напр., Уиттекера функции, см. [2], [3]). Решение уравнения (1) может быть представлено также через контурные интегралы в комплексной плоскости z.

Многие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка (напр., Бесселя уравнение) преобразованием неизвестной функции и независимой переменной приводятся к уравнению (1) (см. [4]). В частности, уравнение вида

(a₀z + b₀)w'' + (a₁z + b₁)w' + (a₂z + b₂)w = 0, a_i, b_i = const,

интегрируется с помощью вырожденной гипергеометрич. функции.

Лит.: [1] Кummеr Е., «J. reine und angew. Math.», 1836, Bd 15, S. 39-83, 127-72; [2] Кратцер А., Фpанц В., Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963; [3] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; [4] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976.

Н. X. Розов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.