ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, функция Куммера, функция Похгаммера, - решение вырожденного гипергеометрического уравнения

zw'' + (γ - z)w' - αw = 0. (1)

В. г. ф. может быть определена с помощью так наз. ряда Куммера:

(2)

где α и γ - параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме γ = 0, -1, -2, ..., z - комплексное переменное. Функция Ф (α; γ; z) наз. вырожденной гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение уравнения (1)

наз. вырожденной гипергеометрической функцией 2-го рода.

В. г. ф. Ф(α; γ; z) - целая аналитич. функция во всей комплексной плоскости z; при фиксированном z - целая функция α и мероморфная функция γ с простыми полюсами в точках γ = 0, -1, -2, ... . В. г. ф. Ψ(α; γ z) - аналитич. функция в комплексной плоскости z с разрезом (-∞, 0) и целая функция α и γ.

В. г. ф. Ф(α; γ; z) связана с гипергеометрической функцией F(α; β; γ; z) соотношением

Элементарные соотношения. Четыре функции Ф(α ± 1; γ; z) и Ф(α; γ±1; z) наз. смежными с функцией Ф(α; γ; z). Между Ф(α; γ; z) и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр.,

γФ(α; γ; z) - αФ(α - 1; γ; z) - zФ(α; γ + 1; z) = 0. Шесть формул такого типа могут быть получены из соотношений между смежными функциями для гипергеометрич. функций. Последовательное применение этих рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию Ф(α; γ; z) с ассоциированными функциями Ф(α + m; γ + n; z), где m и n -целые числа.

Формула дифференцирования:

Основные интегральные представления:

Асимптотич. поведение В. г. ф. при z → ∞ может быть изучено с помощью интегральных представлений (см. [1]-[3]). Если γ → ∞, в то время как α и z ограничены, то поведение функции Ф(α; γ; z) описывается формулой (2) В частности, при больших γ и ограниченных α и z:

Ф(α; γ; z) = 1 + O(|γ|^-1). Представления функций через В г. ф. Функции Бесселя:

Многочлены Лагерра:

Интеграл вероятностей:

Интегральная показательная функция:

-Ei(-z) = e^-z Ψ(1; 1; z).

Интегральная логарифмическая функция:

li(z) = zΨ(1; 1; -ln z).

Гамма-функции:

Г(α, z) = e^-zΨ(1 - α; 1 - α; z).

Элементарные функции:

е^z = Ф(α; α; z), sin z = e^izz Ф(1; 2; -2iz).

См. также [1], [2], [3], [8].

Лит.: [1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 2], пер. с англ., 2 изд., М., 1973; [2] Градштейн И. С. Pыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 4 изд., М., 1963; [3] Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, N. Y., 1964; [4] Уиттекер Э.-Т., Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, ч. 2 - Трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., М., 1963; [5] Лебедев А. В., Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1956; [6] Бурунова Н. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1959; [7] An index of Mathematical tables, 2 ed., v. 1, 2, Oxford, 1962; [8] Лeбeдeв H. H., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963.

Э. А. Чистова.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.