ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ - раздел математики, занимающий промежуточное положение между анализом и геометрией, в к-ром изучаются выпуклые функции, выпуклые функционалы и выпуклые множества. Основания В. а. были заложены Г. Минковским [1], [2], создавшим выпуклую геометрию, т. е. геометрию выпуклых множеств в конечномерном пространстве. Многие понятия и концепции выпуклой геометрии нашли свое завершение в функциональном анализе. С работы В. Фенхеля [3] начался новый этап В. а., на к-ром детально исследовались свойства выпуклых функционалов. Формирование В. а. как самостоятельного раздела относится к 50-60-м гг. 20 в. Понятия и методы В. а. широко применяются в разных областях математики - в теории экстремальных задач, особенно - в выпуклом программировании и классическом вариационном исчислении, в математич. физике, теории целых функций, математич. статистике и т. д.

Основными в В. а. являются понятия поляры, субдифференциала и сопряженной функции. Теоремы В. а. связывают операции сопряжения, перехода к поляре и взятия субдифференциала с алгебраическими, теоретико-множественными и порядковыми операциями над выпуклыми множествами и функциями. Исследуются также всевозможные двойственные отношения между множествами и их полярами, функциями и сопряженными к ним, множествами и выпуклыми однородными функциями и т. п.

Лит.: [1] Minkowski Н., Geometrie der Zahlen, В.-Lpz., 1910; [2] его же, Theorie der konvexen Кörреr, в кн.: Gesamm. Abh., Bd 2, Lpz., 1911; [3] Fenсhel W., «Саn. J. Math.», 1949, v. 1, p. 73-77; [4] Pокафeллap P. Т., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973.

В. М. Тихомиров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.