ВЫПУКЛОСТИ РАДИУС

ВЫПУКЛОСТИ РАДИУС, граница выпуклости R(x₀, f) функции f(x),- точная верхняя грань радиусов r > 0 шаров {х; ρ(х, х₀) < r}, каждый из к-рых отображается на выпуклую область; при этом функция f(x) определена в области D метрич. пространства с метрикой ρ(х₁, х₂) и принимает значения в линейном пространстве. В. p. R(х₀) в точке x₀ ∈ D относительно нек-рого класса отображений f(x) области D есть, по определению, число

R(x₀) = inf {R(x₀, f); f ∈ }. Если f(x) - аффинное отображение евклидова пространства Еⁿ, n ≥ 2, то R(x₀, f) = ∞. Относительно класса всех нормированных однолистных конформных отображении w = f(z), f(0) = 0, f'(0) = 1, единичного круга E = {z; |z| < 1} комплексной плоскости В. р. R(z₀) = 2 - (3 + |z₀|)^1/2 , а при дополнительном условии выпуклости областей {w; w = f(z), z ∈ E), т. е. для выпуклых функций, R(z₀) = 1 - |z₀|. См. также Однолистная функция.

Лит.: [1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Александров И. А., «Докл. АН СССР», 1957, т. 116, № 6, с. 903-05; [3] Мarx A., «Math. Аnn.», 1932, Bd 107, № 1, S. 40-67.

И. А. Александров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.