ВЫПУКЛАЯ ПОДГРУППА

ВЫПУКЛАЯ ПОДГРУППА - подгруппа H (частично) упорядоченной группы G, являющаяся выпуклым подмножеством G относительно заданного отношения порядка. Инвариантные выпуклые подгруппы и только они являются ядрами гомоморфизмов частично упорядоченных групп, сохраняющих порядок. Подгруппа упорядочиваемой группы, выпуклая при всяком линей ном упорядочении, наз. абсолютно выпуклой подгруппой, а выпуклая при нек-ром ее линей ном порядке - относительно выпуклой подгруппой. Пересечение всех неединичных относительно выпуклых подгрупп упорядочиваемой группы есть абсолютно выпуклая подгруппа, объединение всех собственных относительно выпуклых подгрупп также есть абсолютно выпуклая подгруппа. Абелевы группы без кручения не имеют нетривиальных абсолютно выпуклых подгрупп. Подгруппа Н доупорядочиваемой группы G абсолютно выпукла тогда и только тогда, когда для любых элементов g ∉ H, а ∈ Н пересечение S(g) ∩ S(ga) не пусто, где S(х) - минимальная инвариантная подполугруппа G, содержащая х. Выпуклая l-подгруппа Н структурно упорядоченной группы изолирована, т. е. для любого натурального n из хⁿ ∈ Н следует х ∈ Н.

Лит.: [1] Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972; [2] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.

А. И. Кокорин, В. М. Копытов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.