ВЫПУКЛАЯ ОБОЛОЧКА

ВЫПУКЛАЯ ОБОЛОЧКА множества М -минимальное выпуклое множество, содержащее М; то есть пересечение всех содержащих М выпуклых множеств. В. о. множества М обозначается conv M. В евклидовом пространстве Еⁿ В. о. есть множество возможных положений центра тяжести массы, различным образом распределяемой в М. Каждая точка В. о. есть центр тяжести массы, сосредоточенной не более чем в n + 1 точках (теорема Каратеодори).

Замыкание В. о. наз. замкнутой В. о. Она представляет собой пересечение всех содержащих М замкнутых полупространств или совпадает со всем Еⁿ. Часть границы В. о., не прилегающая к М, имеет локально строение развертывающейся гиперповерхности. В Еⁿ В. о. ограниченного замкнутого множества М есть В. о. крайних точек М (крайней наз. точку множества М, не являющуюся внутренней ни для какого отрезка, принадлежащего M).

Кроме евклидова пространства, В. о. обычно рассматривают в локально выпуклых линейных топологич. пространствах L. В L В. о. компактного множества М есть замкнутая В. о. его крайних точек (теорема Крейна-Мильмана).

Лит.: [1] Эдварде Р., Функциональный анализ. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969; [2] Фелпс Р., Лекции о теоремах Шоке, пер. с англ., М., 1968.

В. А. Залгаллер.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.