ВЫПУКЛАЯ МЕТРИКА

ВЫПУКЛАЯ МЕТРИКА - внутренняя метрика на двумерном многообразии М, удовлетворяющая нек-ро-му условию выпуклости. Точнее, пусть l и m две кратчайшие, исходящие из нек-рой точки O ∈ М, X и Y - точки на них, х, у - расстояние от О до X, Y, z - расстояние между X, Y, γ(х, у) - угол в плоском треугольнике со сторонами, равными х, у, z, лежащий против стороны, равной z. Условие выпуклости метрики (в точке О) состоит в том, что γ(х, у) является невозрастающей функцией (т. е. γ(х₁, y₁) ≥ γ(х₂, у₂) при х₁ ≤ х₂, y₁ ≤ y₂ на всякой паре промежутков 0 < х ≤ х₀, 0 < y ≤ y₀ такой, что точки X и Y, соответствующие любым двум значениям из этих промежутков, можно соединить кратчайшей. Внутренняя метрика является В. м. тогда и только тогда, когда она есть метрика неотрицательной кривизны. Метрика выпуклой поверхности является B. м. Обратно, любое двумерное многообразие с В. м. реализуется в виде выпуклой поверхности (теорема A. Д. Александрова).

Лит.: [1] Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948.

М. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.