НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ВЫПУКЛАЯ ИГРА

ВЫПУКЛАЯ ИГРА - бескоалиционная игра n лиц, в к-рой существует такое непустое множество игроков A, что для каждого игрока i ∈ A множество его чистых стратегий Xi выпукло, а функция выигрыша Кi1, ..., хn) вогнута по xi ∈ Xi при всех значениях xk, k ≠ i. Если функции выигрыша всех игроков в В. и. непрерывны, а множества чистых стратегий компактны, то существует ситуация равновесия, в к-рой игроки множества А используют чистые стратегии. В. и. наз. конечной, если каждое Xi компактно и содержится в нек-ром евклидовом пространстве Еni, а функции выигрыша Ki полилинейны. В частности, конечная антагонистическая В. и. задается тройкой 〈R, S, K〉, где R ⊂ Em, S ⊂ En, а функция K имеет вид

К(r, s) = ∑aijrisj, ri ∈ R, sj ∈ S.

Если μ и ν - размерности множеств оптимальных стратегий игроков I и II соответственно, ρ - ранг матрицы ||аij||, то μ + ν ≤ m + n - ρ. Поэтому если матрица ||aij|| невырожденна, то μ + ν ≤ mах(m, n). Конечные В. и. тесно связаны с вырожденными играми.

Пусть Г = 〈X, Y, K〉 - антагонистическая игра на единичном квадрате, функция выигрыша к-рой вогнута по х ∈ Х при каждом у ∈ Y и непрерывна на квадрате X × Y. Тогда игрок I имеет оптимальную чистую стратегию х0 ∈ Х, а игрок II - оптимальную меру (смешанную стратегию), носитель к-рой состоит не более чем из двух точек. Таким образом, можно получить нек-рую информацию о свойствах стратегий игроков в В. и., не принадлежащих множеству А. Естественным обобщением В. и. на единичном квадрате являются обобщенно-выпуклые игры, к-рые определяются тем, что для нек-рого n выполняется неравенство ∂nК(х, у)/∂хn ≤ 0 при х ∈ Х, y ∈ Y. В этом случае, если условиться, что концевой точке отрезка приписывается вес 1/2, игрок I имеет оптимальную меру, носитель к-рой состоит не более чем из n/2 точек, а игрок II - оптимальную меру, носитель к-рой состоит не более чем из n точек.

Лит.: [1] Никайдо X., Исода К., в кн.: Бесконечные антагонистические игры, М., 1963, с. 449-58; [2] Дрешер М., Карлин С., там же, с. 180-94; [3] Боненбласт X. Ф., Карлин С., Шепли Л. С., там же, с. 337-52.

Г. Н. Дюбин.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru