ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЬ

ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЬ - поверхность, описываемая вращением плоской кривой L вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Если L определяется уравнениями ρ = ρ(u), z = z(u), то радиус-вектор В. п. есть r = {ρ(u) cos v, ρ(u) sin v, z(u)}, где u - параметр кривой L, ρ - расстояние точки поверхности от оси вращения, v - угол поворота. Линейный элемент В. п.:

ds² = (ρ'² + z'²) du² + ρ² dv².

Гауссова кривизна К = - z M/ρN⁴, средняя кривизна H = (z'N² - ρM)/2ρN³, где М = z'p'' - z''p', Линии u = const наз. параллелями В. п. и представляют собой окружности, расположенные в плоскости, перпендикулярной оси вращения, с центрами на этой оси. Линии v = const наз. меридианами; все они конгруэнтны вращаемой кривой и лежат в плоскостях, проходящих через ось вращения. Меридианы и параллели В. п. являются линиями кривизны и образуют изотермическую сеть.

В. п. допускает изгибание также в В. п., при к-ром сеть линий кривизны сохраняется и является потому главным основанием изгибания. Омбилические точки В. п. расположены на тех широтах, на к-рых центр кривизны меридиана лежит на оси вращения. Произведение радиуса параллели на косинус угла, под к-рым геодезич. линия В. п. пересекает параллель, постоянно вдоль геодезической (теорема Клер о).

Единственная минимальная В. п. - катеноид. Линейчатая В. п. есть однополостный гиперболоид или его вырождения: цилиндр, конус или плоскость. В. п., имеющая более одной оси вращения, есть сфера или плоскость.

И. Х. Сабитов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.