ВРАЩЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

ВРАЩЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ на плоскости - одна из его гомотопически инвариантных характеристик. Пусть X - векторное поле в области G евклидовой плоскости E², θ - угол между X и нек-рым фиксированным направлением; тогда вращением векторного поля X наз. деленное на 2π приращение угла θ при обходе замкнутой ориентированной кривой L ∈ E², вдоль к-рой X ≠ 0. Так, напр., если L - гладкая класса С² кривая, то вращение касательного к L (или нормального к L) поля τ (или ν) вдоль L равно деленной на 2π полной кривизне L; если X - векторное поле (с возможными изолированными особыми точками) в G с жордановой границей ∂G то В. в. п. на ∂G равно сумме индексов особых точек X в замыкании G. (см. Особой точки индекс). При гомотопной деформации L, не проходящей через особые точки X, В. в. п. не изменяется.

Обобщением понятия В. в. п., заданного на n-мерном многообразии М, расположенном в E^N, является степень отображения его в (N - n)-мерную сферу; она связана с эйлеровой характеристикой. См. также Пуанкаре теорема, Кронекера формула.

М. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.