ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО

ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО - множество Р с заданным на нем бинарным отношением ≤, удовлетворяющим условиям:

1) для любых х, у ∈ Р либо х ≤ y, либо y ≤ x;

2) если х ≤ y и у ≤ x, то х = у;

3) если х ≤ у и у ≤ z, то x ≤ z;

4) в любом непустом подмножестве X ⊂ Р существует такой элемент а, что а ≤ х для всех х ∈ Х; таким образом В. у. м. - линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее условию минимальности.

Понятие В. у. м. было введено Г. Кантором [1]. Примером В. у. м. служит естественным образом упорядоченное множество натуральных чисел. С другой стороны, отрезок действительных чисел [0, 1] с естественным порядком не является В. у. м. Любое подмножество В. у. м. само вполне упорядоченное. Декартово произведение конечного числа В. у. м. вполне упорядочено отношением лексикографического порядка. Линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным тогда и только тогда, когда оно не содержит подмножества, антиизоморфного (см. Антиизоморфизм частично упорядоченных множеств) множеству натуральных чисел.

Наименьший элемент В. у. м. Р наз. нулем (и обозначается 0). Для любого элемента а ∈ Р множество

[0, а) = {х | х ∈ Р, х < а}

наз. начальным отрезком множества Р. Для всякого элемента а, не являющегося наибольшим в Р, существует элемент, непосредственно следующий за ним; его принято обозначать а + 1. Элемент В. у. м., не имеющий непосредственно предшествующего, называется предельным.

Теорема о сравнении. Для любых двух В. у. м. Р₁ и Р₂ имеет место одна и только одна из следующих ситуаций: 1) Р₁ изоморфно Р₂, 2) Р₁ изоморфно некоторому начальному отрезку множества Р₂, 3) Р₂ изоморфно начальному отрезку множества Р₁.

Принимая в числе аксиом теории множеств выбора аксиому, можно доказать, что на всяком непустом множестве можно ввести отношение порядка, превращающее его во В. у. м. (т. е. всякое непустое множество можно вполне упорядочить). Эта теорема, называемая теоремой Цермело, на самом деле эквивалентна аксиоме выбора. Теорема Цермело и теорема о сравнении служат основанием для сравнения множеств по их мощности. Порядковые типы В. у. м. наз. трансфинитами, или трансфинитными числами.

Лит.: [1] Cantor G., «Маth. Аnn.», 1883, Bd 21, S. 51-8; [2] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948; [3] Xаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.-Л., 1937; [4] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965; [5] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер с англ., М., 1970.

Б. А. Ефимов, Т. С. Фофанова.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.