ВПОЛНЕ ПРОСТАЯ ПОЛУГРУППА

ВПОЛНЕ ПРОСТАЯ ПОЛУГРУППА - один из важнейших типов простых полугрупп. Полугруппа S наз. вполне простой (вполне 0-простой - в. 0-п. п), если она идеально проста (0-проста) и содержит примитивный идемпотент, т. е. ненулевой идемпотент, не являющийся единицей ни для какого ненулевого идемпотента из S. Присоединение нуля к В. п. п. дает в. 0-п. п., поэтому многие свойства В. п. п. можно непосредственно вывести из соответствующих свойств в. 0-п. п.

Полугруппа S будет в. 0-п. п. тогда и только тогда, когда она 0-проста и удовлетворяет одному из следующих условий: S обладает минимальными ненулевыми левыми и правыми идеалами; нек-рая степень любого элемента из S принадлежит подгруппе полугруппы S. В частности, любая периодическая (и, тем более, конечная) 0-простая полугруппа будет в. 0-п. п. Всякая в. 0-п. п. есть 0-бипростая регулярная полугруппа и является объединением своих минимальных ненулевых левых(правых) идеалов. Полугруппа S будет В. и. п. тогда и только тогда, когда она удовлетворяет одному из следующих условий: S есть прямоугольная связка (см. Связка полугрупп) групп (которые необходимо изоморфны); S регулярная и все ее идемпотенты примитивны. Специальный тип В. п. п.- прямоугольная группа - прямое произведение группы на прямоугольную полугруппу (см. Идемпотентов полугруппа). В свою очередь, частным случаем последней является правая группа (левая группа). Важное представление в. 0-п. п. дает теорема Риса: полугруппа будет в. 0-п. п. тогда и только тогда, когда она изоморфна регулярной рисовской полугруппе матричного типа над группой с присоединенным нулем.

С рассмотрения конечных В. п. п. фактически началось развитие теории полугрупп (см. Полугруппа). В. 0-п. п. и В. п. п. часто возникают в различных теоретико-полугрупповых исследованиях и составляют один из наиболее изученных типов полугрупп.

Лит.: [1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, т. 1, 2, пер. с англ., М., 1972; [2] Ляпин Е. С., Полугруппы, М., 1960; [3] Каро К., Schneider Н., Completely O-simple semigroups, N. Y.-Amst., 1969.

Л. H. Шеврин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.