ВПОЛНЕ ПРИВОДИМЫЙ МОДУЛЬ

ВПОЛНЕ ПРИВОДИМЫЙ МОДУЛЬ - модуль А над ассоциативным кольцом R, представимый в виде суммы своих неприводимых R-подмодулей (см. Неприводимый модуль). Эквивалентные определения: А является суммой минимальных подмодулей; А изоморфен прямой сумме неприводимых модулей; А совпадает со своим цоколем. Подмодуль и фактормодуль В. п. м. также вполне приводимы. Решетка подмодулей модуля М является решеткой с дополнениями тогда и только тогда, когда модуль М вполне приводим.

Если всякий правый R-модуль над кольцом R вполне приводим, то и всякий левый R-модуль вполне приводим, и обратно; в этом случае R наз. вполне приводимым кольцом, или классически полупростым кольцом. Для того чтобы кольцо R было вполне приводимо, достаточно, чтобы оно, рассматриваемое как левый (правый) модуль над собой, было вполне приводимо.

Лит.: [1] Ламбек И., Кольца и модули, пер. с англ., М., 1971; [2] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961.

О. А. Иванова.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.