ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО

ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО - метрическое пространство X, к-рое при любом ε > 0 может быть представлено как объединение конечного числа множеств диаметра меньше ε. Равносильное условие: для каждого ε > 0 в пространстве X существует конечная ε-сеть, т. е. такое конечное множество А, что каждая точка множества X отстоит от нек-рой точки множества А на расстоянии, меньшем ε. В. о. п. являются те и только те метрич. пространства, к-рые могут быть представлены как подпространства метрич. бикомпактных пространств. Метрич. В. о. п., рассматриваемые как топологические, в точности исчерпывают все регулярные пространства со счетной базой. Подпространство евклидова пространства является В. о. п. в том и только в том случае, если оно ограничено. Обратное неверно: бесконечное множество, в к-ром расстояние между любыми двумя различными точками равно 1, а также сфера и шар гильбертова пространства являются ограниченными, но не вполне ограниченными метрич. пространствами. О значении понятия В. о. п. свидетельствует теорема: метрич. пространство является компактом в том и только в том случае, если оно вполне ограничено и полно. Метрич. пополнение метрич. В. о. п. есть компакт. Образ метрич. В. о. п. при равномерно непрерывном отображении есть В. о. п.

Лит.: [1] Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., М., 1968; [2] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.-Л., 1937; [3] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948; [4] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы функционального анализа, 4 изд., М., 1976.

А. В. Архангельский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.