ВПОЛНЕ НЕСВЯЗНОЕ ПРОСТРАНСТВО

ВПОЛНЕ НЕСВЯЗНОЕ ПРОСТРАНСТВО - пространство, в к-ром всякое подмножество, содержащее более одной точки, несвязно. Равносильное условие: компонента связности любой точки пространства состоит из одной этой точки. Топологич. произведение и топологич. сумма В. н. п., равно как и любое подпространство В. н. п., вполне несвязны. Любой вполне несвязный бикомпакт нульмерен (во всех смыслах). Такие бикомпакты важны, в частности, потому, что они являются стоуновскими пространствами булевых алгебр. Построено В. н. п. (веер Кнастера - Куратовского), лежащее на плоскости и превращающееся в связное пространство после присоединения к нему всего лишь одной точки. Это пространство не нульмерно. Подпространство гильбертова пространства, образованное точками, все координаты к-рых рациональны, вполне несвязно и одномерно. Если в пространстве каждая точка является пересечением всех открыто замкнутых множеств, его содержащих, то это В. н. п. (в частности, вполне несвязны все нульмерные пространства). Однако существует вполне несвязное метрич. пространство со счетной базой, в к-ром не всякая точка является пересечением содержащих ее открыто замкнутых множеств.

Лит.: [1] Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948; [2] Engelking R., Outline of General Topology, Amst., 1968; [3] Кeлли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., М., 1968; [4] Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968.

А. В. Архангельский, Б. А. Ефимов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.