ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЙ ОПЕРАТОР

ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЙ ОПЕРАТОР, вполне непрерывное отображение, - непрерывный оператор f, действующий из одного банахова пространства X в другое пространство Y и переводящий слабо сходящуюся в X последовательность в последовательность, сходящуюся по норме в Y. При этом предполагается сепарабельность пространства X (для Y это требование необязательно; впрочем, область значений В. н. о. всегда сепарабельна). Другими словами, оператор f вполне непрерывен, если он отображает произвольное ограниченное подмножество X в компактное подмножество Y. Класс В. н. о. является важнейшим подклассом совокупности компактных операторов, содержащим, в частности, все компактные аддитивные операторы.

Определение (линейных) В. н. о. и простейшие их свойства были в 1904-06 высказаны Д. Гильбертом (см. [1]) для пространств l₂ и L₂ (см. Гильбертово пространство) и Ф. Риссом [2] (определение через компактность), а в общем случае - С. Банахом [3] (определение через последовательности). Термин «компактный оператор» становится более употребительным в связи с использованием более общих, чем банаховы, топологических векторных пространств.

Лит.: [1] Hilbert D., Grundzüge einer allgemeinen: Theorie der linearen Integralgleichungen, Lpz.-В., 1912; [2] Riesz F. «C. r. Acad. sci.», 1907, t. 149, p. 974-77; [3] Banach S., Théorie des opérations linéaires, Warsz., 1932.

M. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.