ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ

ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ - раздел теории вероятностей, описывающий широкий круг явлений, связанных с отказом и восстановлением элементов какой-либо системы. Основные понятия в В. т. - понятия процесса восстановления и уравнения восстановления. Процесс восстановления описывается с помощью классич. схемы сумм независимых случайных величин следующим образом. Пусть ξ₁, ξ₂, ... - последовательность независимых, неотрицательных, одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F(x). Пусть ζ₀ = 0, ζ_n = ξ₁ + ξ₂ + ... + ξ_n. n ≥ 1. Процесс восстановления N_t определяется следующим образом

N_t = max {n : ζ_n ≤ t}. (1)

Если ξ_i интерпретировать как длительности работы к.-л. последовательно заменяемых элементов, то случайная величина N_t равна числу замен (или восстановлений) этих элементов за время t. При исследовании N_t большую роль играет функция восстановления H(t)= E N_t. Эта функция удовлетворяет уравнению восстановления:

(2)

В случае, когда F(t) = 1 - е^ρt, t ≥ 0, имеет место важный частный случай процесса восстановления - пуассоновский процесс, в к-ром

и H(t) = ρt.

Процесс восстановления N_t и уравнение восстановления (2) имеют большое значение при исследовании различных задач как прикладного, так и теоретич. характера в теории массового обслуживания, в теории надежности, в теории запасов, в теории ветвящихся процессов и т. п. Значительное количество результатов в В. т. связано с изучением асимптотических при t → ∞ свойств функции восстановления H(t). В элементарной теореме восстановления утверждается, что

(3)

где m = Е ξ_i. Д. Блэкуэлл (D. Blackwell, 1948) доказал (см. |l]), что в случае, если распределение ξ_i не сосредоточено на к.-л. арифметич. решетке вида {0, d, 2d, ....}, d > 0, то при любом h > 0

(4)

Имеются многочисленные результаты, обобщающие и уточняющие (3) и (4) в различных направлениях. С помощью результатов типа (3) и (4) изучаются асимптотич. свойства решения X(t) уравнения типа восстановления

в к-ром свободный член K(t) есть нек-рая функция, отличная от F(t) и удовлетворяющая тем или иным условиям.

Из определения (1) вытекает соотношение

(5)

Поскольку предельные теоремы для сумм ζ_n независимых слагаемых хорошо изучены, то соотношение (5) позволяет получать предельные теоремы для числа восстановлений N_t.

Имеется большое количество обобщений изложенной выше схемы. Одно из таких обобщений, связанное с полумарковскими процессами, дает так наз. марковский процесс восстановления, в к-ром система имеет какое-то количество состояний и времена работы отдельных элементов являются случайными величинами, зависящими от состояний системы до и после момента восстановления.

Лит.: [1] Кокс Д. Р., Смит В. Л., Теория восстановления, пер. с англ., М., 1967.

Б. А. Севастьянов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.