ВОРОНОГО ТИПЫ РЕШЕТОК

ВОРОНОГО ТИПЫ РЕШЕТОК - типы точечных решеток n-мерного евклидова пространства Еⁿ, введенные Г. Ф. Вороным в 1908 (см. [1]) в связи с задачей о параллелоэдрах.

Множество точек ε в Еⁿ наз. (r, R)-cистемой, если в нем нет точек ближе чем на фиксированном расстоянии r > 0 друг от друга, и всякий шар радиуса, большего чем фиксированное R, содержит хотя бы одну точку из ε. Пусть D - выпуклый многогранник области Дирихле точки из системы ε, т. е. области точек пространства, к-рые отстоят от какой-либо точки системы не дальше, чем от всех других ее точек. Области Дирихле точек (r, R)-системы ε попарно не имеют общих внутренних точек, покрывают все пространство (т. е. образуют разбиение) и смежны целыми гранями (т. е. составляют нормальное разбиение). С той же системой е можно связать дуальное к {D} тоже нормальное разбиение {L} на многогранники L (вписанные в сферы), каждый из к-рых есть выпуклая оболочка точек системы ε, соответствующих всем D, сходящимся в вершине разбиения {D}.

Две n-мерные точечные решетки относятся к одному типу Вороного, когда их разбиения {L} аффинны друг другу. Если репер таков, что при любых достаточно малых изменениях его метрич. параметров (скалярных квадратов а_ii и скалярных произведений а_ik (i ≠ k) его векторов) разбиение решетки, построенной на измененном репере, получается из разбиения {L} решетки, построенной на исходном репере тем же аффинным преобразованием, к-рое переводит исходный репер в измененный репер, то репер наз. примитивным или общим. Для этого необходимо и достаточно, чтобы разбиение {L} для исходного репера было симплициальным. Точка М пространства Е^N параметров а_ik(где N = n(n + 1)/2), соответствующая такому реперу тоже наз. общей. Полная линейно связная область Δ, содержащая общую точку, в к-рой разбиения {L} для всех ее точек получаются из разбиения {L} для решетки, построенной на репере, соответствующем точке М, теми же аффинными преобразованиями, при помощи к-рых реперы, соответствующие этим тоннам, получаются из репера, соответствующего точке М, наз. областью типа точки М. Г. Ф. Вороной доказал, что в E^N область Δ имеет вид выпуклого многогранного угла (гоноэдра) с вершиной в начале координат и с конечным числом граней и что для любого заданного n существует лишь конечное число ψ неэквивалентных областей Δ. Он дал также алгорифм для их нахождения (см. [1]). Для n = 1, 2, 3, 4 число ψ равно соответственно 1, 1, 1, 3. Г. Ф. Вороной доказал также, что самое общее (т. е. не обязательно разбиение Дирихле) нормальное разбиение Еⁿ на одинаковые выпуклые и параллельно расположенные многогранники, сходящиеся по n + 1 в вершинах (примитивные параллелоэдры), есть аффинный образ разбиения {D} для решетки, и свел, таким образом, изучение этих параллелоэдров к теории квадратичных форм. Для непримитивных параллелоэдров (т. е. в случае, когда в нек-рых вершинах сходится больше чем n + 1 параллелоэдр) вопрос о возможности их аффинно преобразовать в область D решетки для произвольного n пока (1977) открыт. Известно только его положительное решение для n = 2, 3, 4 (см. [2]).

Примитивная область D для двумерной решетки есть выпуклый шестиугольник с центром симметрии, вписанный в круг, и обратно. В случае трехмерной решетки это нек-рый 14-гранник, комбинаторно такой же, как кубооктаэдр с восмью шестиугольными и шестью четырехугольными гранями, грани к-рого имеют центры симметрии, и такой, что отрезки, идущие из его центра в центры граней, перпендикулярны к граням, и обратно. Непримитивная область D при n = 2 - прямоугольник, а при n = 3 - или додекаэдр с четырьмя шестиугольными и восмью параллелограмматич. гранями, или параллелограмматич. додекаэдр, или прямая шестиугольная призма с основанием-примитивным двумерным D, или прямоугольный параллелепипед. Для n = 4 имеется 3 примитивных D разных В. т. р. и 49 непримитивных. При переходе к n = 5 происходит скачок - для n = 5 уже 221 различных примитивных D (см. [4]). Этот результат был получен введением нового понятия С-типа решетки: в один C-тип относят те решетки, у к-рых аффинны друг другу не сами разбиения {L}, а лишь их одномерные остовы.

Лит.: [1] Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952, с. 239-368; [2] Делоне Б. Н., «Изв. АН СССР, 7 сер., Отд. физ.-матем. наук», 1929, № 1, с. 79-110; № 2, с. 147-64; [3] его же, «Успехи матем. наук», 1937, в. 3, с. 16-62: 1938, в. 4, с. 102-64; [4] Рышков С. С., Барановский Е. П., «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1975, т. 137, с. 1-133.

Б. Н. Делоне.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.