ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ - уравнение с частными производными вида

описывающее различные колебательные процессы и процессы распространения волн. Для В. у., являющегося уравнением гиперболич. типа, обычно ставятся две задачи: Коши задача и смешанная задача.

Классич. решением задачи Коши, описывающей распространение волн в n-мерном евклидовом пространстве Еп, наз. функцию u(х, t), к-рая: непрерывно дифференцируема в (n + 1)-мерном полупространстве (х ∈ Еⁿ, t ≥ 0); дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет В. у. в полупространстве (х ∈ Еⁿ, t > 0); удовлетворяет наяальным условиям

где φ(х) и ψ(x) - заданные функции.

Классич. решением смешанной задачи, описывающей колебания ограниченного объема G ⊂ Eⁿ, наз. функцию u(х, t), к-рая: непрерывно дифференцируема в замкнутом цилиндре (x ∈ Ḡ, t ≥ 0); дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет В. у. в открытом цилиндре (x ∈ G, t > 0); удовлетворяет для x ∈ G начальным условиям

и удовлетворяет к.-л. краевому условию на «боковой» поверхности указанного цилиндра.

Классич. решение задачи Коши для достаточно гладких φ(x) и ψ(х) дается так наз. Пуассона формулой, к-рая при n = 1 переходит в Д'Аламбера формулу. В случае, когда в правой части В. у. вместо нуля стоит заданная функция f(x, t), это уравнение наз. неоднородным В. у. и решение его дается так наз. Кирхгофа формулой. Смешанная задача для В. у. решается методом Фурье, методом конечных разностей и методом преобразования Лапласа.

Наряду с изучением указанных задач в приведенной выше классич. постановке рассматриваются вопросы существования и единственности классич. решений, понимаемых в более слабом смысле (см. [4]), а также обобщенных решений как задачи Коши, так и смешанной задачи (см. [2], [3]).

Лит.: [1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; [2] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [3] Ладыженская О. А., Смешанная задача для гиперболического уравнения, М., 1953; [4] Ильин В. А., «Успехи матем. наук», 1960, т. 15, в. 2 (92), с. 97-154; [5] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962.

Ш. А. Алимов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.