ВОЗМУЩЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

ВОЗМУЩЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ - отображение f в системе обыкновенных дифференциальных уравнений

ẋ = A(t)x + f (х, t). (1)

Обычно возмущение предполагается малым в к.-л. смысле, напр.,

(2)

Решение φ(t) линейной системы с возмущением (1) и решение Ψ(t)y₀ линейной системы

ẏ = A(t)y (3)

с одним и тем же начальным значением у₀ при t = t₀ связаны соотношением

наз. формулой вариации постоянных, где Ψ(t) - фундаментальная матрица линейной системы (3).

A. М. Ляпунов (см. [1]) доказал асимптотическую устойчивость тривиального решения системы (1) (см. Асимптотически устойчивое решение), если соотношение (2) справедливо равномерно по t, а матрица A(t) постоянна и все действительные части ее собственных значений отрицательны; если же хоть одна из них положительна, то тривиальное решение неустойчиво.

Исследование периодического решения φ системы ẋ = Р(х, t), описывающей колебательный процесс, преобразованием x = φ(t) + y приводится в общем случае к исследованию линейной системы с возмущениями, правая часть к-рой периодична по t (см. [3]).

Лит.: [1] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, М.- Л., 1950; [2] Былов Б. Ф. [и др.]. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966; [3] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.

Л. Э. Рейзинь.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.