ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИНЦИП

ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИНЦИП, виртуальных скоростей принцип, - дифференциальный вариационный принцип классической механики, выражающий наиболее общие условия равновесия механических систем, стесненных идеальными связями.

Согласно В. п. п. механич. система находится в равновесии в нек-ром положении тогда и только тогда, когда сумма элементарных работ заданных активных сил на всяком возможном перемещении, выводящем систему из рассматриваемого положения, равна нулю или меньше нуля:

∑_νF_ν ⋅ δr_ν ≤ 0, (*)

в любой момент времени.

Возможными (виртуальными) перемещениями системы наз. элементарные (бесконечно малые) перемещения δr_ν точек системы, допускаемые в данный момент времени наложенными на систему связями. Если связи являются удерживающими (двусторонними), то возможные перемещения обратимы, и в условии (*) следует брать знак равенства; если же связи - неудерживающие (односторонние), то среди возможных перемещений имеются необратимые. При движении системы под действием активных сил связи действуют на точки системы с нек-рыми силами реакций R_ν (пассивные силы), в определении к-рых предполагается полностью учтенным механич. действие связей на систему (в том смысле, что связи возможно заменять вызванными ими реакциями) (аксиома освобождаемости). Связи наз. идеальными, если сумма элементарных работ их реакций Σ_νR_ν ⋅ δr_ν ὅ 0, причем знак равенства имеет место для обратимых возможных перемещений, а знаки равенства или больше нуля - для необратимых перемещений. Положения равновесия системы - такие положения r_ν = r_ν (t₀), в к-рых система будет оставаться все время, если она помещена в эти положения с нулевыми начальными скоростями v_ν(t₀) = 0; при этом предполагается, что уравнения связей удовлетворяются при любом t значениями r_ν = r_ν(t₀) и v_ν = 0. Активные силы в общем случае предполагаются заданными функциями F_ν(t, r_μ, v_μ) ∈ С¹, а в условии (*) следует считать r_ν = r_ν(t, r_μ(г₀), 0).

В условии (*) содержатся все уравнения и законы равновесия систем с идеальными связями, благодаря чему можно сказать, что вся статика сводится к одной общей формуле (*).

Закон равновесия, выражаемый В. п. п., впервые был установлен Гвидо Убальди (Guido Ubaldi) на рычаге и на движущихся блоках или полиспастах. Г. Галилей (G. Galilei) установил его для наклонных плоскостей и рассматривал этот закон как общее свойство равновесия простых машин. Дж. Валлис (J. Wallis) положил его в основание статики и из него вывел теорию равновесия машин. Р. Декарт (В. Descartes) свел всю статику к единому принципу, к-рый, по существу, совпадает с принципом Галилея. И. Бернулли (J. Bernoulli) первый понял большую общность В. п. п. и его полезность при решении задач статики. Ж. Лагранж [1] выразил В. п. п. в общей форме и тем самым свел всю статику к. единой общей формуле; он дал доказательство (не вполне строгое) В. п. п. для систем, стесненных двусторонними (удерживающими) связями. Общая формула статики для равновесия любой системы сил и разработанный Ж. Лагранжем метод применения этой формулы были систематически им использованы для вывода общих свойств равновесия системы тел и решения различных проблем статики, включая задаяи равновесия несжимаемых, а также сжимаемых и упругих жидкостей. Ж. Лагранж считал В. п. п. основным принципом для всей механики. Строгое доказательство В. п. п., а также распространение его на односторонние (неудерживающие) связи было дано Ж. Фурье [2], М. В. Остроградским [3].

Лит.: [1] Lagrange J., Mécanique analytique, P., 1788 (рус. пер.: Лагранж Ж., Аналитическая механика, М.-Л., 1950); [2] Fourier J., «J. de l'Ecole Polytechnique», 1798, t. II, p. 20; [3] Остроградский M. В., Лекции по аналитической механике, Собр. соч., т. 1, ч. 2, М.-Л., 1946.

В. В. Румянцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.