ВОГНУТЫЙ И ВЫПУКЛЫЙ ОПЕРАТОРЫ

ВОГНУТЫЙ И ВЫПУКЛЫЙ ОПЕРАТОРЫ - нелинейные операторы в полуупорядоченных пространствах, являющиеся аналогами вогнутых и выпуклых функций действительного переменного.

Нелинейный оператор А, положительный на конусе K в банаховом пространстве, наз. вогнутым (точнее, v₀-вогнутым на K), если:

1) для каждого ненулевого х ∈ К выполнены неравенства

α(х)u₀ ≤ Ax ≤ β(х)u₀,

где u₀ - нек-рый фиксированный ненулевой элемент из K, α(х) и β(х) - положительные скалярные функции; 2) для каждого такого х ∈ К, что

α₁(x)u₀ ≤ x ≤ β₁(x)u₀, α₁ > 0, β₁ > 0, справедливы соотношения

A(tx) ὅ (1 + η(x, t))tA (х), 0 < t < 1, (*)

где η(x, t) > 0.

Аналогично, оператор А наз. выпуклым (точнее, u₀-выпуклым на K), если выполнены условия 1) и 2), но неравенство (*) заменено противоположным, и функция η(х, t) < 0.

Типичным примером является интегральный оператор Урысона

А[x(t)] = ∫_G k(t, s, x(s)) ds,

вогнутость и выпуклость к-рого обеспечивается соответственно вогнутостью и выпуклостью скалярной функции k(t, s, u) по переменному u. Вогнутость оператора ознаяает, что он содержит лишь «слабые» нелинейности - значения оператора на элементах конуса растут «медленно» при росте норм элементов. Выпуклость же оператора означает, как правило, что он содержит «сильные» нелинейности. В соответствии с этим уравнения с вогнутыми операторами и уравнения с выпуклыми операторами обладают рядом различий; так, первые близки по своим свойствам к соответствующим скалярным уравнениям, для вторых же такой близости нет: напр., для них, как правило, неверна теорема о единственности положительного решения.

Лит.: [1] Красносельский М. А., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975.

М. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.