ВНУТРЕННИХ ВАРИАЦИЙ МЕТОД

ВНУТРЕННИХ ВАРИАЦИЙ МЕТОД - метод в теории функций комплексного переменного, используемый при решении экстремальных задач на классах однолистных и многолистных аналитич. функций. Преимущества В. в. м. связаны с тем, что при выводе лежащих в его основе вариационных формул не делается предположений о поведении варьируемых функций на границе области D их задания, а сами вариационные формулы являются следствием единообразного изменения функций класса на внутренних подмножествах из D. Для однолистных функций в круге E = {z: |z| < 1), В. в. м. был предложен М. Шиффером [1] и, в более усовершенствованной и развитой форме, Г. М. Голузиным [2]. В применении к классу S функций f(z) = z + c₂z² + ..., голоморфных и однолистных в Е, ими была установлена основная вариационная формула:

где

z_k (k = 1, 2, ..., n; n = 1, 2, ...) - фиксированные точки в круге Е, A_k - произвольные комплексные постоянные, а γ(z; λ)/λ при λ → 0, λ > 0, стремится к нулю равномерно относительно z внутри Е. Иными словами, в классе S, не образующем к.-л. линейного пространства, для каждой функции f(z) указывается однопараметрическое семейство f_*(z; λ), λ > 0, функций этого же класса такое, что на любом замкнутом множестве в Е разложение f_*(z; λ) по степеням λ дается записанной выше формулой. Аналогичные формулы (с оценкой порядка малости остаточного члена внутри соответствующей области) имеют место и для других классов аналитич. функций.

Характерной чертой В. в. м. является возможность, исходя из вариационных формул, получить для граничных или экстремальных функций дифференциальное уравнение. Его исследование с использованием аналитич. теории дифференциальных уравнений приводит к важным качественным результатам, а в ряде случаев -к полному решению экстремальной проблемы.

В. в. м. нашел успешное применение в задачах о не-палегающих областях; он стал составной частью так наз. вариационно-параметрического метода (см. [3]).

Лит.: [1] Sсhiffer M., «Аmеr J. Math.», 1943, v. 65, № 2, p. 341-60; [2] Голузин Г. M., «Матем. сб.», 1946, т. 19 (61), в. 2, с. 203-36; [3] его же, Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966.

И. А. Александров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.