ВНУТРЕННИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

ВНУТРЕННИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР относительно поверхности Σ_m -дифференциальный оператор L(u), обладающий тем свойством, что для любой функции, для к-рой он определен, его значение в точке М ∈ Σ_m может быть вычислено лишь по значениям этой функции на гладкой поверхности Σ_m, заданной в пространстве E_n, m < n. В. д. о. может быть вычислен с помощью производных в направлениях l, к-рые лежат в касательном к поверхности Σ_m, многообразии. Если ввести такие координаты, что на Σ_m:

то оператор L(u), если он внутренний относительно Σ_m, после надлежащих преобразований не будет содержать производных по переменным x_m+1, ..., x_n (так наз. выводящих производных). Напр., оператор

есть В. д. о. относительно любой гладкой поверхности, составленной из прямых x - x₀ = y - y₀ = z - z₀, а также относительно любой из этих прямых. Если оператор L(u) является В. д. о. относительно поверхности Σ_n-1, то Σ_n-1 наз. характеристикой дифференциального уравнения L(u) = 0.

Иногда оператор наз. внутренним по отношению к поверхности Σ_m, если в точках этой поверхности старший порядок выводящих производных ниже порядка оператора.

Б. Л. Рождественский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.