ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ - краевые задачи (к. з.) для эллиптич. уравнений с частными производными соответственно в конечной (внутренней) D⁺ и бесконечной (внешней) D^- областях, на к-рые данная замкнутая гладкая поверхность S, гомеоморфная сфере, разделяет евклидово пространство ℝ.

Основное отличие внешней к. з. от внутренней состоит в том, что в ней необходимо дополнительно к краевому условию потребовать от решения определенного поведения на бесконечности, обеспечивающего единственность решения и являющегося естественным с точки зрения физического происхождения данной задачи.

Напр., в случае внешней к. з. для уравнения Пуассона Δu = f (функция f предполагается достаточно гладкой и финитной) достаточно потребовать, чтобы решение u(М) было регулярным на бесконечности, т. е. чтобы

(1)

В случае внешней к. з. для уравнения Пуассона Δu = f в бесконечной плоской области D^- ⊂ ℝ² условие регулярности на бесконечности сводится к требованию, чтобы решение u(М) было ограниченным на бесконечности:

u(M) = 0(1), r → ∞. (2)

В случае внешней к. з. для уравнения Гельмгольца Δu + k²u = f, k² > 0, требование регулярности на бесконечности оказывается недостаточным для выделения единственного решения и применяется так наз. излучения условие. Для области D^- в ℝ³:

(3)

и для D^- ⊂ ℝ²:

(4)

причем знаки здесь выбираются в зависимости от условий задачи и выбора главного фундаментального решения. О других условиях на бесконечности см. Предельного поглощения принцип, Предельной амплитуды принцип.

Пусть теперь рассматриваются к. з. для линейного эллиптич. уравнения общего вида

(5>

в областях D⁺ и D^- евклидова пространства ℝⁿ, n ≥ 2, выделяемых замкнутой гладкой гиперповерхностью S, гомеоморфной сфере в ℝⁿ, причем функции а_ik, b_i, с и f предполагаются достаточно гладкими, f - финитная. Условия регулярности на бесконечности типа (1) или (2) будут достаточны во внешних к. з. соответственно при n ≥ 3 или n = 2 в тех случаях, когда для оператора L выполняется принцип максимума и существует одно единственное главное фундаментальное решение; в частности, для этого необходимо с ≤ 0; см. [1], [2], [3]. Вопрос о применимости условия излучения, принципа предельного поглощения и принципа предельной амплитуды в общем виде нельзя считать полностью изученным (1977).

Кроме условий на бесконечности, внешняя и внутренняя к. з. могут отличаться условиями существования решения. Напр., в случае внутренней Неймана задачи для уравнения Лапласа Δu = 0 в конечной области D⁺ ⊂ ℝ³ необходимое условие существования решения имеет вид

∫_s ψ(M) dS = 0,

где ψ(М) - заданная граничная функция в условии Неймана ∂u/∂n = ψ(М). Однако для внешней задачи Неймана в бесконечной области D^- ⊂ ℝ³ это условие уже не является необходимым.

Лит.: [1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, 5 изд., М., 1958; [2] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [3] Купрадзе В. Д., Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения, М.-Л., 1950; [4] его же, Методы потенциала в теории, упругости, М., 1963; [5] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.