ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА

ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА, алгебра Грассмана, векторного пространства V над полем k - ассоциативная алгебра над k, операция в к-рой обозначается знаком ∧, порождающими элементами к-рой являются 1, e₁, ..., e_n, где e₁, ..., e_n - базис пространства V, а определяющие соотношения имеют вид

В. а. не зависит от выбора базиса и обозначается ∧ V. Подпространство ∧^r V(r = 0, 1, ...) в ∧ V, порожденное элементами вида e_i1, ..., e_ir, наз. r-й внешней степенью пространства V. Имеют место равенства: dim ∧^r V = C^r_n, r = 0, ..., n, ∧^r V = 0, r > n. Кроме того, v ∧ u = (-1)^rs u ∧ v, если u ∈ ∧^r V, v ∈ ∧^s V. Элементы пространства ∧^r V наз. r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантныё тензоры в V (см. Внешнее произведение).

r-векторы тесно связаны с r-мерными подпространствами в V: линейно независимые системы векторов x₁, ..., x_r и y₁, ..., y_r из V порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r-векторы x₁ ∧ ... ∧ x_r и y₁ ∧ ... ∧ y_r пропорциональны. Этот факт был одним из отправных пунктов в исследованиях Г. Грассмана [1], к-рый ввел В. а. как алгебраич. аппарат для описания порождения многомерных подпространств одномерными. С помощью В. а. легко строится теория определителей. В. а. может быть определена и для более общих объектов, а именно, для унитарных модулей М над коммутативным кольцом А с единицей (см. [4]). r-я внешняя степень ∧^r M, r > 0, модуля М определяется как фактормодуль r-й тензорной степени этого модуля по подмодулю, порожденному элементами вида x₁ ⊗ ... ⊗ х_r, где х_i ∈ М и x_j = x_k для нек-рых j ≠ k. В. а. для М определяется как прямая сумма ∧ М = ⊕_r≥0∧^r М, где ∧⁰ М = А, с естественно введенным умножением. В случае конечномерного векторного пространства это определение совпадает с первоначальным. В. а. модуля находит применение в теории модулей над кольцом главных идеалов (см. [5]).

Грассмановыми (или плюккеровыми) координатами r-мерного подпространства L в n-мерном пространстве V над k наз. координаты r-вектора в V, соответствующего L, к-рый определен с точностью до пропорциональности. С помощью грассмановых координат множество всех r-мерных подпространств в V естественным образом вкладывается в проективное пространство размерности С^r_n - 1 и оказывается там алгебраич. многообразием (наз. Грассмана многообразием). Этот метод позволяет построить целый ряд важных примеров проективных алгебраич. многообразий [6].

В форме исчисления внешних дифференциальных форм В. а. используется в качестве одного из основных формализмов в дифференциальной геометрии (см. [8], [7]). В терминах В. а. формулируются многие важные результаты алгебраич. топологии.

Например, если G - конечномерное H-пространст-во (например, группа Ли), то алгебра Н* (G, k) когомологий пространства G с коэффициентами в поле k характеристики нуль является В. а. с образующими нечетных степеней. Если G - односвязная компактная группа Ли, то В. а. (над кольцом целых чисел) является также кольцо K*(G), изучаемое в К-теории.

Лит.: [1] Grassmann Н., Gesammelte mathematische und physikalische Werke, Bd 1, Tl. 1-2, Lpz., 1894-96; [2] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 2 изд., М., 1956; [3] Калужнин Л. А., Введение в общую алгебру, М., 1973; [4] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [5] его же. Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1968; [6] Xодж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1-3, М., 1954; [7] Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М.-Л., 1948; [8] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970

А. Л. Онищик.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.