ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ - основная операция внешней алгебры тензоров, определенных в n-мерном векторном пространстве V над полем K.

Пусть e₁, ..., e_n - базис V, а и b - р_- и q-формы:

Внешнее произведение форм а и b есть (р + q)-форма c, получающаяся альтернацией тензорного произведения с ⊗ Р Форма с обозначается а ∧ b; она имеет кососимметрические координаты

где δ - компоненты обобщенного Кронекера символа. Аналогично определяется В. п. ковариантных тензоров.

Основные свойства В. п.:

1) (kа) ∧ b = а ∧ (kb) = k(a ∧ b), k ∈ K, - однородность,

2) (а + b) ∧ с = a ∧ с + b ∧ с - дистрибутивность,

3) (а ∧ b) ∧ с = а ∧ (b ∧ c) - ассоциативность.

4) а ∧ b = (-1)^pqb ∧ а; если характеристика поля К отлична от двух, то для формы а неяетной валентности а ∧ a = 0.

В. п. s векторов наз. разложимым s-вектором. Каждый поливектор размерности s есть линейная комбинация разложимых s-векторов. Компоненты разложения являются s × s-минорами n × s-матрицы (аⁱ_j), 1 ≤ i ≤ n, коэффициентов векторов a₁, ..., a_s. При s = n их В. п. имеет вид:

Над полями характеристики, отличной от двух, равенство a₁ ∧ ... ∧ a_s = 0 необходимо и достаточно для линейной зависимости векторов a₁, ..., a_s. Ненулевой разложимый s-вектор α_s определяет в V s-мерное ориентированное подпространство А, параллельное векторам a₁, ..., a_s, и параллелотоп, лежащий в А и образованный векторами a₁, ..., a_s, выходящими из одной точки (этот параллелотоп обозначается через [a₁, ..., a_s]). Условия а ∈ А и α_s ∧ a = 0 эквивалентны.

Лит. см. при статье Внешняя алгебра.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.