ВЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

ВЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ - теоретико-множественное включение V ⊂ W линейного нормированного пространства V в линейное нормированное (полунормированное) пространство W, при к-ром для любого x ∈ V справедливо неравенство

||x||_W ≤ C ||x||_V

с постоянной С, не зависящей от х ∈ V. При этом ||x||_W -есть норма (полунорма) элемента х в пространстве W, а ||x||_V - норма (полунорма) элемента х в V.

Тождественный оператор, действующий из пространства V в пространство W и ставящий в соответствие элементу x ∈ V тот же элемент как элемент пространства W, наз. оператором вложения пространства V в пространство W. Оператор вложения всегда ограничен. Если оператор вложения есть вполне непрерывный оператор, то В. ф. п. наз. компактным. Факт В. ф. п. устанавливается вложения теоремами.

Пример. Пусть Е - измеримое по Лебегу множество в n-мерном евклидовом пространстве с конечной мерой mes Е и пусть L_p(Е), 1 ≤ р ≤ ∞, есть пространство Лебега измеримых функций, суммируемых по Е в степени р, с нормой

||x||_p = [∫_E^p |x(t)| dt]^1/p.

Тогда при р ≥ q справедливо В. ф. п. L_p(E) → L_q(E) и

_q ≤ (mes E)^1/q-1/p ||x||_p.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.