ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУППЫ

ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУППЫ в группу - мономорфизм полугруппы в группу. Полугруппа S вкладывается в группу G, если S изоморфна подполугруппе группы G. Необходимые и достаточные условия В. п. в группу были найдены А. И. Мальцевым [1] (см. также [3], с. 286). Эти условия представляют собой бесконечную систему условных тождеств (квазитождеств), среди к-рых, в частности, имеются следующие:

ap = aq → p = q, pa = qa → p = q

(законы сокращения);

ap = bq, ar = bs, cp = dq → cr = ds,

где а, b, с, d, р, q, r, s - элементы полугруппы. Класс полугрупп, вложимых в группы, нельзя охарактеризовать конечным числом условных тождеств [2]. Известен ряд достаточных условий В. п. в группу. Наиболее важными из них являются следующие. Если S - полугруппа с сокращением и для любых элементов а, b полугруппы S найдутся элементы х, у ∈ S такие, что ах = bу (условие Оре), то полугруппа S вложима в группу. Если S - полугруппа с сокращением, в к-рой из равенства ab = cd всегда следует, что либо а = сх, либо с = ах для нек-рого элемента x ∈ S, то полугруппа S вложима в группу [4]. Известны достаточные условия В. п., сформулированные на языке теории графов (см., напр., [5]).

Лит.: [1] Мальцев А. И., «Матем. сб.», 1939, т. 6 (48), с. 331-36; [2] его же, там же, 1940, т. 8(50), с. 251-64; [3] Кон П. М., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [4] Doss R., «Bull. Sci. Math.», 1948, v. 72, p. 139-150; [5] Адян С. И., Труды матем. ин-та АН СССР, 1966, т. 85, с. 1-123.

Л. А. Бокуть.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.