ВЛОЖЕНИЕ КОЛЬЦА

ВЛОЖЕНИЕ КОЛЬЦА - мономорфизм кольца в некоторое другое кольцо; кольцо R вкладывается в кольцо L, если R изоморфно подкольцу кольца L. Наиболее подробно изучались условия вложения ассоциативного кольца в (ассоциативное) тело и произвольного кольца в кольцо с делением. Начало этим исследованиям положила работа А. И. Мальцева [1], в которой был построен пример ассоциативного кольца без делителей нуля, не вложимого в тело. Долгое время оставалась открытой следующая проблема Мальцева: будет ли вложимо в тело каждое ассоциативное кольцо без делителей нуля, полугруппа ненулевых элементов к-рого вложима в группу? Эта проблема была решена отрицательно в 1966 (см. [2], с. 354). Квадратная матрица А порядка n × n над ассоциативным кольцом В наз. неполной, если она представима в виде А = ВС, где В, С - матрицы порядков n × r и r × n соответственно и r < n. Пусть

А = (а, а₂, ..., а_n), В = (b, а₂, ..., а_n)

- квадратные матрицы порядка n × n над R, у к-рых совпадают все столбцы, кроме, возможно, первого. Тогда матрица

С = (а + b, а₂, ..., а_n)

наз. детерминантной суммой матриц А и В относительно первого столбца. Аналогично определяется детермицантная сумма квадратных матриц одинаковых порядков относительно произвольного столбца (строки). Ассоциативное кольцо R с 1 вложимо в тело тогда и только тогда, когда оно не имеет делителей нуля и никакая скалярная матрица аЕ с ненулевым элементом а по диагонали не может быть представлена в виде детерминантной суммы конечного числа неполных матриц ([2], с. 349). Класс ассоциативных колец, вложимых в тела, не является конечно аксиоматизируемым (т. е. его нельзя задать конечным числом аксиом) [3]. Известен ряд достаточных условий вложения ассоциативного кольца в тело. Наиболее важными из них являются следующие. Пусть R - ассоциативное кольцо без делителей нуля, полугруппа ненулевых элементов к-рого удовлетворяет условию Оре (см. Вложение полугруппы). Тогда кольцо R вложимо в тело ([4], с. 293). Групповая алгебра упорядоченной группы вложима в тело (теорема Мальцева-Неймана, см. [4], с. 294). Произвольная область свободных правых (левых) идеалов (см. Ассоциативные кольца и алгебры) вложима в тело ([2], с. 351).

Кольцо R вложимо в кольцо с делением тогда и только тогда, когда оно не содержит делителей нуля. Пусть R, L - кольца, ∞ - символ, ∞ ∉ L. Отображение φ: R → {L, ∞} наз. T-гомоморфизмом; если: 1) множество φ^-1(L) есть кольцо и отображение φ на этом множестве есть кольцевой гомоморфизм; 2) из φ(аb) ≠ ∞, φ(а) = ∞ следует φ(b) = 0; 3) из φ(аb) ≠ ∞, φ(b) = ∞ следует φ(а) = 0. T-гомоморфизм поля есть не что иное, как специализация (или тонка) поля. Кольцо с делением L наз. свободным T-расширением кольца R, если: L содержит R и порождается (как кольцо с делением) кольцом R, а любой T-гомоморфизм кольца R в некоторое кольцо с делением S можно продолжить до T-гомоморфизма L в S. Каждое кольцо без делителей нуля обладает свободным T-расширением ([4], с. 301).

Лит.: [1] Мальцев А. И., «Маth. Аnn.», 1937, Bd 113, S. 686-691; [2] Кон П. М., Свободные кольца и их связи, пер. с англ., М., 1975; [3] Conn P. М., «Bull. Lond. Math. Soc.», 1974, v. 6, p. 147-148; [4] Кон П. M., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968.

Л. А. Бокуть.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.