ВКЛЮЧЕНИЕ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ

ВКЛЮЧЕНИЕ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ - включение суммируемости полей, соответствующих этим методам. Если А и В - два метода суммирования, определенные на множестве М рядов (или последовательностей), А* и В* - их поля суммируемости и A* ⊂ B*, то говорят, что метод В включает метод А и обозначают символом А ⊂ В. Методы А и В наз. равносильными и обозначают А = В, если каждый из них включает другой. Равносильные методы имеют одно и то же поле суммируемости. Метод В сильнее метода А, если В включает А, но не равносилен ему. Если поле суммируемости метода совпадает с множеством всех сходящихся рядов, то метод наз. равносильным сходимости. Иногда рассматривают В. м. с. не на всем множестве их определения, а лишь на некотором его подмножестве.

Для Чезаро методов суммирования (С, k) имеет место включение (С, k₁) ⊂ (С, k₂) при k₂ ≥ k₁ > -1, Абеля метод суммирования сильнее всей совокупности методов Чезаро (С, k) при k > -1, Рисса метод суммирования (R, n, k) равносилен Чезаро методу суммирования (С, k) (k ≥ 0), Абеля метод суммирования равносилен сходимости на множестве рядов, члены к-рых а_n удовлетворяют условию а_n = O(1/n). В приведенных примерах методы суммирования являются одновременно и совместными (см. Совместность методов суммирования), хотя в общем в случае В. м. с. не предполагает их совместности. Однако, если А и В - регулярные матричные методы и А ⊂ В на множестве ограниченных последовательностей, то А и В совместны на этом множестве (теорема Мазура-Орлича-Брудно). В литературных источниках иногда требование совместности методов налагают при самом определении включения.

В. м. с., определенных на множестве рядов с действительными членами, наз. полным, если включение полей суммируемости сохраняется и при пополнении их рядами, суммируемыми к +∞ и -∞. Напр., Гёльдера метод суммирования (Н, k) вполне включает метод Чезаро (С, k).

В. м. с. для специальных видов суммируемости (напр., для абсолютной суммируемости, сильной суммируемости и др.) определяется аналогичным образом.

Лит.: [1] Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [2] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, пер. с англ., М., 1960; [3] Кан Г. Ф., Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 5-70; [4] Мazur S., Orlicz W., «С. r. Acad. sci.», 1933, t. 196, p. 32-4; [5] Брудно А. Л., «Матем. сб.», 1945, т. 16, с. 191-247; [6] Барон С., Введение в теорию суммируемости рядов, Тарту, 1966.

И. И. Волков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.