ВИТТА ТЕОРЕМА

ВИТТА ТЕОРЕМА: всякая изометрия между двумя подпространствами F₁ и F₂ конечномерного векторного пространства V, определенного над полем к характеристики, отличной от двух, и наделенного метрич. структурой с помощью невырожденной симметрической или кососимметрической билинейной формы f, может быть продолжена до метрич. автоморфизма всего пространства V. Впервые эта теорема получена Э. Виттом [1].

В. т. может быть доказана и в более широких предположениях на k и f (см. [2], [3]). А именно, утверждение теоремы остается в силе, если k - тело, V - левый конечномерный k-модуль, а f - невырожденная ε-эрмитова форма (относительно нек-рого фиксированного инволютивного антиавтоморфизма σ тела k), удовлетворяющая условию: для всякого v ∈ V найдется такой элемент α ∈ k, что

f(v, v) = α + εα^σ

(свойство (Т)). Свойство (Т) выполняется, напр., когда f - эрмитова форма и характеристика k отлична от двух, или когда f - знакопеременная форма. В. т. справедлива также, если k - поле, а f - симметрическая билинейная форма, ассоциированная с невырожденной квадратичной формой Q на V. Из В. т. следует, что группа метрич. автоморфизмов пространства V транзитивно переставляет вполне изотропные подпространства одинаковой размерности и что все максимальные вполне изотропные подпространства в V имеют одну и ту же размерность (индекс Витта формы f). Другое следствие В. т.: классы изометрии невырожденных симметрических билинейных форм конечного ранга над k относительно взятия ортогональной прямой суммы образуют моноид с сокращением; каноническое отображение этого моноида в его Гротендика группу инъективно. Группа WG(k) наз. группой Витта-Гротендика WG(k) поля k; тензорное произведение форм индуцирует на ней структуру кольца, к-рое наз. кольцом Витта-Гротендика поля k (см. [7]).

О других приложениях В. т. см. Витта разложение, Витта кольцо.

Лит.: [1] Witt Е., « J. reine angew. Math. », 1936, Bd 176, S. 31-44; [2] Бурбаки H., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [4] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [6] Серр Ж.-П., Курс арифметики, пер. с франц., М., 1972; [7] Милнор Дж., «Математика», 1974, т. 15, в. 4, с. 3-27.

В. Л. Попов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.