ВИТАЛИ ВАРИАЦИЯ

ВИТАЛИ ВАРИАЦИЯ - одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть функция f(x) = f(x₁, ..., х_n) (n = 2, 3, ...) задана на n-мерном параллелепипеде D_n = [a₁, b₁] × ... × [_n, b_n]. Введем обозначения

Пусть П - произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями

 n

на n-мерные параллелепипеды. Обозначим через V(f) точную верхнюю грань сумм вида

взятую по всевозможным разбиениям П. Если V(f) < ∞, то говорят, что функция f(х)имеет ограниченную (конечную) вариацию Витали на D_n, а класс всех таких функций обозначается через V(D_n) или просто через V. Этот класс был определен Дж. Витали [1]. Позже это же определение вариации было предложено А. Лебегом [2] и М. Фреше [3]. Действительнозначная функция f(x), заданная на D_n, принадлежит классу V(D_n) тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде f(x) = f₁(x) - f₂(x), где функции f₁ и f₂ таковы, что для каждой из них суммы вида (*), взятые без знака модуля, неотрицательны [4] (аналог Жордана разложения функции ограниченной вариации одного переменного). С помощью функций класса V(D_n) вводится многомерный интеграл Стилтьеса. В частности, для любой непрерывной на D_n функции g(x) и любой функции f(x) из класса V(D_n) существует интеграл ∫_Dn g(x)df(x) (см. [3], с. 143).

Лит.: [1] Vitali G., «Atti Accad. sci. Torino», 1908, v. 43, p. 75-92; [2] Lebesgue A., «Ann. Ecol. Norm, super.», 1910, ser. 3, v. 27, p. 361-450; [3] Freсhet M., «Nouv. anniv.», 1910, ser. 4, t. 10, p. 241-56; [4] Hahn H., Theorie der reellen Funktionen, Bd 1, В., 1921; [5] Pисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954.

Б. И. Голубов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.