ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ

ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ - пространственная кривая, расположенная на поверхности круглого цилиндра (цилиндрическая В. л.; рис. 1)

Рис. 1.

или круглого конуса (коническая В. л.; рис. 2),

Рис. 2.

пересекающая все образующие под одинаковым углом. Параметрич. уравнения цилиндрич. В. л.:

х = а cos t, у = а sin t, z = ht,

где t - длина дуги кривой, а - радиус цилиндра. При параллельном проектировании цилиндрич. В. л. на плоскость, параллельную образующим цилиндра, получается синусоида. Во всех тоннах цилиндрич. В. л. кривизна и кручение имеют постоянную величину. Главные нормали цилиндрич. В. л. пересекают ось цилиндра под прямым углом. Длина отрезка В. л. между двумя последовательными точками ее встречи с какой-либо образующей наз. витком В. л., а длина соответствующего отрезка образующей - шагом В. л. Параметрич. уравнения конич. В. л.:

x = ce^mt cos t, y = ce^mt sin t, z = ce^mt ctg α,

где t - длина дуги кривой, α - угол между осью конуса и его образующей, m = sin α/tg φ, φ - угол между касательной к В. л. и образующей конуса. Параллельная оси конуса проекция конич. В. л. на плоскость, перпендикулярную оси конуса, есть логарифмич. спираль с полюсом в проекции вершины конуса. Кривизна и кручение конич. В. л. сохраняют постоянное отношение во всех точках.

Различают право- или левозакрученные В. л., т. е. при возрастании координаты z В. л. идет по направлению или против направления движения часовой стрелки. Обобщенная В. л.- линия на цилиндре (произвольном), к-рая каждую из образующих цилиндра пересекает под постоянным углом. В. л. являются частным случаем откоса линии.

Лит.: [1] Бюшгенс С. С., Дифференциальная геометрия, М.-Л., 1940; [2] Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957.

Е. В. Шикин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.