ВИНЕРА ИНТЕГРАЛ

ВИНЕРА ИНТЕГРАЛ - абстрактный интеграл лебеговского типа по множествам бесконечномерного функционального пространства от функционалов, определенных на этих множествах. В. и. введен Н. Винером (N. Wiener) в 20-х гг. 20 в. в связи с вопросами броуновского движения (см. [1], [2]).

Пусть С₀ - векторное пространство непрерывных функций x(t), определенных на [0, 1] и таких, что х(0) = 0, с нормой

Квазиинтервалом этого пространства наз. множество

Q={x(t) ∈ C₀, a_i < x(t_i) ≤ b_i, 0 = t₀ < t₁ < ... < t_n = 1}

(а_i и b_i могут равняться, соответственно, -∞ и +∞, но тогда знак ≤ заменяется на <). Примером квазиинтервала может служить все пространство

C₀ = {x(t), -∞ < x(1) < +∞}.

Мерой Винера квазиинтервала Q наз. число

где

и x_j = x(t_j). Эта мера распространяется до σ-аддитивной меры, определенной на борелевской теле множеств, порожденном квазиинтервалами (по-прежнему наз. мерой Винера). Пространство С₀ измеримо в смысле меры Винера и μ_W(С₀) = 1.

Пусть F(х) - функционал, определенный на С₀ и измеримый относительно меры μ_W. Интеграл

∫_C0 F(x) dμ_W

лебеговского типа наз. интегралом Винера, или интегралом по мере Винера от функционала F(x). Если Е ⊂ С₀ измеримо, то

∫_E F(x) dμ_W = ∫_C0 F(x) χ_E(x) dμ_W,

где χ_E(x) - характеристич. функция множества E.

В. и. обладает рядом свойств обычного интеграла Лебега. В частности, ограниченный и измеримый на множестве Е функционал интегрируем по мере Винера на этом множестве и если, кроме того, функционал F(х) непрерывен и неотрицателен, то

где F_n(x₁, ..., x_n) - значение функционала F на ломаной с вершинами в (t_i, x_i = x(t_i)).

Вычисление В. и. даже для сравнительно простых функционалов представляет значительную трудность. Иногда эту задачу удается свести к нахождению решения некоторого дифференциального уравнения (см. [1]).

Существует метод приближенного вычисления В. и. путем аппроксимации его конечномерными Стилтьеса интегралами высокой кратности.

Лит.: [1] Ковальчик И. М., «Успехи матем. наук», 1963, т. 18, в. 1, с. 97-134; [2] Шилов Г. Е., там же, в. 2, с. 99-120.

В. И. Соболев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.