ВИЕТА ТЕОРЕМА

ВИЕТА ТЕОРЕМА о корнях - теорема, устанавливающая соотношения между корнями и коэффициентами многочлена. Пусть f(x) - многочлен степени n с коэффициентами из нек-рого поля и старшим коэффициентом 1. Над полем, содержащим все корни f(x) (напр., над полем разложения для f(x)), многочлен f(х) разлагается на линейные множители:

f(х) = хⁿ + а_n-1x^n-1 + ... + а₁x + а₀ = (х - α₁) (х - α₂)...(х - α_n),

где α_i - корни f(x), i = 1, 2, ..., n. В. т. устанавливает справедливость соотношений (формулы Виета):

a₀ = (-1)ⁿ α₁α₂...α_n,

a₁ = (-1)^n-1 (α₁α₂...α_n-1 + α₁...α_n-2α_n + ... + α₂α₃...α_n),

...,

a_n-2 = α₁α₂ + α₁α₃ + ... + α_n-1α_n,

a_n-1 = -(α₁ + α₂ + ... + α_n).

Ф. Виет нашел эту зависимость для всех n, однако с оговоркой на положительность корней (см. [1]); в общем виде В. т. установлена А. Жираром [2].

Лит.: [1] Viète F., Opera mathematica..., Lugduni Ba-tavorum, 1646, p. 123, 158; [2] Girard A., Invention nouvelle en Algèbre..., Amst., 1629.

В. H. Ремесленников.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.