ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ РЕГУЛЯРНОСТЬ

ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ РЕГУЛЯРНОСТЬ - свойство ветвящегося процесса, обеспечивающее конечность числа частиц в любой момент времени. Вопрос о В. п. р. сводится, как правило, к вопросу о единственности решения нек-рого дифференциального или интегрального уравнения. Напр., в ветвящемся процессе с непрерывным временем дифференциальное уравнение

с начальным условием F(0, s) = s имеет единственное решение F(t, s) тогда и только тогда, когда при любом ε > 0 расходится интеграл

В ветвящемся Беллмана-Харриса процессе производящая функция F (t; s) числа частиц есть решение нелинейного интегрального уравнения

(*)

где G(t) - функция распределения времени жизни частиц, h(t) - производящая функция числа непосредственных потомков одной частицы. Если при некоторых t₀, c₁, с₂ > 0 и целом h ὅ 1 для всех 0 ≤ t ≤ t₀ выполняются неравенства

c₁tⁿ ≤ G(t) ≤ c₂tⁿ,

то единственность решения уравнения (*) имеет место тогда и только тогда, когда уравнение

с начальными условиями

φ(0) = 1, φ^(r)(0) = 0, r = 1, ..., n - 1,

имеет единственное решение

0 ≤ φ(t) ≤ 1.

Для регулярности ветвящегося процесса, описываемого уравнением (*), необходимо и достаточно, чтобы при любом ε > 0 интеграл

расходился.

Лит.: [1] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы, М., 1971.

Б. А. Севастьянов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.