ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС CO СЛУЧАЙНОЙ СРЕДОЙ

ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС CO СЛУЧАЙНОЙ СРЕДОЙ - неоднородный по времени ветвящийся процесс, в к-ром неоднородность имеет случайный характер. Пусть ξ̄ = {ξ₀, ξ₁, ...} - стационарная последовательность случайных величин (значение ξ_t интерпретируется как состояние «среды» в момент времени t) и каждому возможному состоянию среды ξ сопоставлено распределение вероятностей {p_k(ξ)} числа потомков одной частицы:

Для построения траектории {μ(0), μ(1), ...} В. п. со с. с. фиксируют значение μ(0) = m и траекторию ξ̄ состояний среды и при каждом t = 0, 1, ... определяют ξ(t + 1) как сумму ξ(t) независимых случайных величин, имеющих распределение {p_k(ξ_t)}. Такое усложнение ветвящегося Гальтона-Ватсона процесса довольно естественно, если, напр., рассматривать В. п. со с. с. как модель биология, популяции.

Свойства В. п. со с. с. аналогинны свойствам обычных ветвящихся процессов. Напр., производящая функция распределения μ(t) при условии, что μ(0) = 1, имеет вид

(*)

(для ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона, т. е. при Р{ξ_t = 0} = 1, в правой части (*) стоит t-кратная итерация F₀(s)). В. п. со с. с. делятся на докритические, критические и надкритические; «критич. параметром» является (см. [1]) величина

(для обычных ветвящихся процессов «критич. параметром» является математич. ожидание числа потомков одной частицы). Если ρ < 0, то В. п. со с. с. наз. докритическим, и для случайной величины

- вероятности вырождения В. п. со с. с. при фиксированной траектории ξ̄ - справедливо соотношение

Имеет место аналог предельной теоремы для докритического ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона: для почти всех реализаций последовательности ξ̄ существуют пределы

Если ρ = 0, то В. п. со с. с. наз. критическим, тогда

и для почти всех реализаций ξ̄

При ρ > 0 В. п. со с. с. наз. надкритическим; в этом случае

и при нек-рых дополнительных условиях для почти всех ξ̄ существует неотрицательная случайная величина

Лит.: [1] Athrеуа К. В., Nеу P., Branching processes, В.-Hdlb.-N.Y., 1972.

А. М. Зубков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.