НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС С ИММИГРАЦИЕЙ

ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС С ИММИГРАЦИЕЙ - модель ветвящегося процесса (с дискретным или непрерывным временем, с одним или несколькими типами частиц и т. д.), в к-рой новые частицы могут появляться не только при делении частиц, но и в результате иммиграции из какого-то «внешнего источника». Напр., пусть

Xt,i, Yt, t = 0, 1, ...; i = 1, 2, ...,

- независимые случайные величины с производящими функциями

соответственно; тогда ветвящийся Гальтона-Ватсона процесс с иммиграцией можно задать соотношениями (μ(t) - число частиц): μ(0) = 0 и

μ(t + 1) = Xt,1 + ... + Хt,μ(t) + Yt, t = 0, 1, ...

(величина Xt,i интерпретируется как размер потомства i-й частицы t-то поколения, величина Yt - как число частиц, иммигрирующих в t-e поколение). Производящие функции

определяются рекуррентными соотношениями

H0(s) ≡ 1, Ht+1(s) = G(s)Ht(F(s)).

Соответствующая ветвящемуся процессу Гальтона-Ватсона с иммиграцией цепь Маркова μ(t) возвратна, если EXt,i < 1 и Е ln(1 + Yt) < ∞ или EXt,i = 1 и B = DXt,i > 2С = 2ЕYt, и невозвратна, если EXt,i = 1 и В < 2С или ЕXt,i > 1. Для эргодичности цепи Маркова μ(t), т. е. для того чтобы существовали пределы

необходимо и достаточно (см. [3]), чтобы

(это условие выполняется, в частности, если ЕXt,i < 1 и E ln(1 + Yt) < ∞). Если ЕXt,i = 1, В > 0, С < ∞, то (см. [4]):

Если A = EXt,i > 1 и E ln(1 + Yt) < ∞, то (см. [5]) существует такая последовательность чисел ct↓0, сtt+1 → А, что

Для В. п. с и., в к-рых иммиграция происходит только при μ(t) = 0, т. е.

μ(t + 1) = Xt,1 + ... + Xt,μ(t) + δ0,μ(t)Yt, t = 0, 1, ...,

где δi,j - символ Кронекера, при EXt,i = 1, 1 < EX2t,i < ∞ и 0 < ЕYt < ∞ справедливо соотношение

Лит.: [1] Зубков А. М., «Теория вероят. и ее примен.», 1972 т. 17, в. 1, с. 179-88; [2] Pakes A. G., «J. Austral. Math. Soc.», 1972, v. 13, № 3, p. 277-90; [3] Foster J. H., Williamson J. A., «Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw Geb.», 1971, Bd 20, № 3, S. 227-35; [4] Seneta E., «J. Roy. Statist. Soc.», 1970, v. 32, № 1, p. 149-52; [5] его же, «Math. Biosci.», 1970, v. 7, № 1, p. 9-14; [6] Foster J. H., «Ann. Math. Statistics», 1971, v. 42, № 5, p. 1773-6.

A. M. Зубков.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru