ВЕТВЛЕНИЯ ТОЧКА

ВЕТВЛЕНИЯ ТОЧКА минимальной поверхности - особая тонка минимальной поверхности, в к-рой первая квадратияная форма поверхности обращается в нуль; тем самым фактически В. т. возможна лишь на обобщенной минимальной поверхности. Своим названием эта особая точка обязана тому факту, что в ее окрестности строение обобщенной минимальной поверхности подобно строению римановой поверхности функции w = zⁿ, n ≥ 2, над точкой z = 0, т. е. там обобщенная минимальная поверхность имеет многолистную ортогональную проекцию на нек-рую плоскую область, в к-рой проекция самой В. т. является внутренней точкой с единственным прообразом. В окрестности В. т. (u = 0, v = 0) координаты (х, у, z) минимальной поверхности представимы в виде

х + iy = aw^m + О(|w|^m+1), z = Re (bw^m+n) + O(|w|^m+n+1), w = u+iv,

где а ≠ 0 и b ≠ 0 - две комплексные постоянные, m ≥ 2 и n ≥ 1 - целые числа, соответственно называемые порядком и индексом В. т., u и v - внутренние изотермич. координаты.

На основании этого представления получена теорема: если числа m + n и m - взаимно простые, то минимальная поверхность имеет (m - 1)(m + n) различных линий самопересечения, исходящих из В. т. с определенными направлениями, причем все соседние направления образуют между собой равные углы.

Различают два вида В. т.- фальшивые В. т. и истинные (-нефальшивые). Фальшивые В. т. представляют собой особенность отображения, определяющего поверхность, и от нее можно избавиться перепараметризацией (напр., если r = r(w) - регулярная минимальная поверхность, то обобщенная минимальная поверхность r = r(w²) будет иметь в точке w = 0 фальшивую В. т.). Истинная В. т. представляет собой реальную особенность самой поверхности, и у нее есть следующее важное свойство: в окрестности истинной В. т. поверхность можно изменить так, что новая поверхность, совпадая с исходной вне деформированной окрестности, будет иметь меньшую площадь по сравнению с исходной поверхностью. Теория обобщенных минимальных поверхностей с В. т. послужила основой для общей теории вложений с ветвлениями, развитой для широкого класса двумерных Поверхностей в Rⁿ, n ≥ 3.

И. X. Сабитов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.