![]() |
ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ нелинейных уравнений - явление перехода нек-рого решения нелинейного уравнения в несколько решений (пли полное его исчезновение) при малых изменениях параметров. Более точно, пусть нелинейное уравнение F(x, λ) = 0 (*) с (не обязательно числовым) параметром λ имеет при фиксированном значении λ0 решение х0. Тогда при значениях λ, близких к λ0, уравнение (*) может иметь несколько (более одного) решений х(λ), близких к х0. В этих случаях говорят, что происходит ветвление решения х0, а пара (х0, λ0) наз. точкой ветвления уравнения (*). Пример: Уравнение х2 - λ = 0, где х и λ - комплексные переменные, имеет точку ветвления (х0, λ0) = (0, 0), ибо существует двузначное решение х = √λ, т. е. решение х = 0 (при λ = 0) разветвляется при малых λ ≠ 0 на два малых нетривиальных решения. Современная теория В. р. основывается на идеях А. М. Ляпунова [1] и Э. Шмидта [2] и наиболее развита для нелинейных уравнений в банаховых пространствах. Пусть Е1 и Е2 - комплексные банаховы пространства, x ∈ E1, λ - комплексное переменное, a F(x, λ) -нелинейный оператор, непрерывный вместе с Фреше производной Fx(x, λ) в окрестности Ω точки (х0, λ0), отображающий Ω в окрестность нуля пространства Е2 и такой, что F(x0, λ0) = 0, a Fx(x0, λ0) ≡ В - Фредгольма оператор. Задача состоит в том, чтобы найти в шаре ||х - х0|| < r достаточно малого радиуса r все решения уравнения (*), непрерывные при |λ - λ0| < ρ, где ρ также достаточно мало. Иными словами, это есть задача локального продолжения решения х0 по параметру λ. Если существует обратный оператор В-1, то задача имеет единственное решение х(λ), причем х(λ0) = х0. Если же В-1 не существует, то нуль-пространство N(В) оператора В имеет размерность n ≥ 1. В этом случае задача может быть сведена к аналогичной конечномерной задаче. Пусть через Р обозначен проектор Е1 на N(В), а через I - Q - проектор Е2 на область значений оператора В, где I - тождественный оператор. Уравнение (*) может быть записано в виде системы ![]() где u = (I - P)(x - x0), v = P(x - x0). Из первого уравнения системы определяется неявный оператор u = f(v, λ). В результате его подстановки во второе уравнение системы получается уравнение QF(x0 + f(v, λ) + v, λ) = 0 для определения v; оно наз. уравнением разветвления. Полное решение задачи о нахождении в шаре ||v|| < r достаточно малого радиуса r всех решений v(λ) уравнения разветвления, непрерывных при |λ - λ0| < ρ (где ρ достаточно мало), приводит к полному решению исходной задачи, ибо всякое ее решение представимо в виде x(λ) = xc + v(λ) + f[v(λ), λ], где v - нек-рое решение уравнения разветвления. Пусть F(x, λ) - аналитический оператор в Ω. Выбор базисов в n-мерных подпространствах PE1 = N(B) и QE2 позволяет записать уравнение разветвления в виде системы ℒi (ξ1, ..., ξn, λ) = 0, i = 1, ..., n, ℒi, i = 1, ..., n - аналитич. функции в точке (0, ..., 0, λ0), причем все частные производные ∂ℒi/∂ξj обращаются в нуль в этой точке. Исследование этой системы может осуществляться при помощи теории исключения, метода Ньютона диаграммы и др. методов (см. [3]-[5]). При n = 1 полный анализ осуществляется методом диаграммы Ньютона. Применительно к исследованию уравнения разветвления, а значит и исходной задачи, возможны лишь следующие три случая: а) задача не имеет решений; б) задача имеет конечное число решений и все они представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням разности λ - λ0; в) задача имеет конечное число семейств решений, каждое из к-рых зависит от конечного числа свободных малых параметров, и, быть может, конечное число решений, указанных в б). Для того чтобы имел место случай б), достаточно, чтобы х0 было изолированным решением уравнения F(x, λ0) = 0. В случае б) решения удобно искать методом неопределенных коэффициентов в виде ![]() где xk - коэффициенты, подлежащие определению, а возможные значения р могут быть предварительно найдены с помощью уравнения разветвления. Подстановка такого ряда в (*) приводит к рекуррентной системе для нахождения х1, х2, ... . При этом получаются задачи вида Bxk = H(x1, ..., xk-1) и каждое хk определяется с точностью до n произвольных постоянных, к-рые определяются из требований разрешимости последующих уравнений. Все полученные ряды сходятся в нек-рой окрестности точки λ0. Оценка снизу радиуса окрестности может быть получена с помощью построения мажорант (см. [6]). Для того чтобы имел место случай в), необходимо, чтобы х0 было неизолированным решением уравнения F(x, λ0) = 0. Здесь применение метода неопределенных коэффициентов может привести к расходящимся рядам (формальным решениям). Если задача инвариантна относительно непрерывной группы линейных операторов в Е1, то в ряде случаев использование групповых соображений позволяет уменьшить число уравнений и неизвестных в уравнении разветвления и тем самым упростить задачу или даже свести ее к случаю б) (см. [7], [8]). Уравнение (*) может иметь также решения, определенные лишь при λ = λ0. Эти решения возможны только тогда, когда х0 - неизолированное решение уравнения F(х, λ0) = 0; они находятся при помощи уравнения разветвления при λ = λ0. Определение всех его многонараметрич. семейств решений приводит к определению всех решений уравнения (*) с λ = λ0. В случае вещественных пространств Е1 и Е2 уравнение разветвления изучается в комплексной области, а затем отбираются вещественные решения. Нек-рые из них могут оказаться определенными в полуокрестностях точки λ0. Изложенная методика частично применима также в случаях, когда F(x, λ) - достаточно гладкий оператор, В - нётеров оператор, а параметр λ - элемент еще одного банахова пространства Е (точки ветвления могут заполнять в Е линии и поверхности). Этим же способом исследуются нек-рые близкие задачи: задача отыскания больших решений (уравнение (*) может иметь решения х(λ) → ∞ при λ → λ0), задача ветвления собственных значений и собственных элементов линейных операторов и др. (см. [3]). Частный случай, когда Е1 = Е2, F(x, λ) ≡ х - Ф(х, λ), Ф(0, λ) ≡ 0 исследовался также топологическими, вариационными методами и методами, использующими конусы в банаховом пространстве. В этом круге вопросов значительную роль играет понятие точки бифуркации. Встречаются также задачи о ветвлении решений, не укладывающиеся в описанную выше схему. Это, напр., задачи для дифференциальных уравнений с вырождением (см. [9], [10]) и задачи о длинных и уединенных волнах (см. [11]). Лит.: [1] Ляпунов А. М., О фигурах равновесия, мало отличающихся от эллипсоидов, вращающейся однородной кассы жидкости, Собр. соч., т. 4, М., 1959; [2] Schmidt Е., «Math. Ann.», 1908, Bd 65, S. 370-99; [3] Вайнберг M. М., Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969; [4] Вайнберг М. М., Треногий В. А., «Успехи матем. наук», 1962, т. 17, в. 2; [5] Красносельский М. А. [и др.], Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [6] Ахмедов К. Т., «Успехи матем. наук», 1957, т. 12, в. 4, с. 135-53; [7] Юдович В. И., «Прикл. матем. и механ.», 1967, т. 31, в. 1, с. 101-11; [8] Логинов Б. В., Треногин В. А., «Докл. АН СССР», 1971, т. 197, №1; [9] Ахмедов К. Т. там же, 1957, т. 115, № 1; [10] Сидоров Н. А., «Дифферент уравнения», 1967, т. 3, № 9; [11] Тер-Крикоров А. М., Треногий В. А., там же, т. 3, № 3. В. А. Треногий. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |