ВЕС

ВЕС представления ρ алгебры Ли в векторном пространстве - отображение α алгебры Ли L в ее поле определения k, для к-рого существует такой ненулевой вектор х пространства V, что

(ρ(h) - α(h) 1)^n_x,h(x) = 0

для всех h ∈ L и некоторого целого n_x,h > 0 (вообще говоря, зависящего от х и h), где 1 обозначает тождественное преобразование V. В этом случае говорят также, что α - вес L-модуля V, определяемого представлением ρ. Множество всех векторов x ∈ V, удовлетворяющих указанному условию, вместе с нулем образует подпространство V_α, наз. весовым подпространством веса α (или, соответствующим весу α). Если V = V_α, то V наз. весовым пространством, или весовым модулем над L, веса α.

Если V - конечномерный весовой модуль над L веса α, то контрагредиентный модуль (см. Контрагредиентное представление) V* является весовым веса -α; если V и W - весовые модули над L весов α и β соответственно, то их тензорное произведение V⊗W является весовым модулем веса α + β. Если L - нильнотентная алгебра Ли, то весовое подпространство V_α веса α в V является подмодулем L-модуля V. Если, кроме того,

dim_k V < ∞,

а ρ(L) - расщепляемая алгебра Ли линейных преобразований модуля V, то V разлагается в прямую сумму конечного числа весовых L-подмодулей разных весов:

V = V ⊕ V ⊕ ... ⊕ V_τ

(весовое разложение V относительно L). Если L - нильпотентная подалгебра конечномерной алгебры Ли М, рассматриваемой как L-модуль относительно присоединенного представления ad_M алгебры М, и ad_ML является расщепляемой алгеброй Ли линейных преобразований М, то соответствующее весовое разложение М относительно L:

M = M_α ⊕ M_β ⊕ ... ⊕ M_γ

наз. разложением Фиттинга М относительно L, веса α, β, ..., γ наз. корнями, а пространства M_α, M_β, ..., M_γ - корневыми подпространствами М относительно L. Если, кроме того, задано представление ρ алгебры М в конечномерном векторном пространстве V, для которого ρ(L) - расщепляемая алгебра Ли линейных преобразований V, и

V = V_σ ⊕ V_δ ⊕ ... ⊕ M_τ

- соответствующее весовое разложение V относительно L, то ρ(М_α)(V_σ) ⊆ V_α+σ, когда α+σ есть вес V относительно L, и ρ(М_α)(V_σ) = 0 в противном случае. В частности, если α + β - корень, то [М_α, М_β] ⊆ М_α+β, в остальных случаях [М_α, М_β] = 0. Если характеристика поля k равна нулю, то веса σ, δ, ..., τ и корни α, β, ..., γ являются линейными функциями на L, обращающимися в нуль на коммутанте алгебры L.

Лит.: [1] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [2] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970.

В. Л. Попов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.