ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ

ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ - характеристики множеств на прямой. Верхняя грань нек-рого множества действительных чисел - наименьшее число, ограничивающее сверху это множество. Нижняя грань данного множества - наибольшее число, ограничивающее его снизу. Более подробно: пусть задано нек-рое подмножество X действительных чисел. Число β наз. его верхней гранью (в. г.) и обозначается sup X (от латинского слова supremum - наивысшее), если для каждого числа х ∈ Х выполняется неравенство х ≤ β, и каково бы ни было β' < β существует такое х' ∈ X, что x' > β'. Число α наз. нижней гранью (н. г.) множества X и обозначается inf X (от латинского слова infimum - наинизшее), если для каждого х ∈ Х выполняется неравенство х ≥ α, и каково бы ни было α' > α существует такое х' ∈ Х, что х' < α'.

Примеры:

inf[a, b) = а, sup[a, b] = b, inf(a, b) = a, sup(a, b) = b

если множество X состоит из двух точек а и b, a < b, то

inf Х = а, sup X = b.

Эти примеры показывают, в частности, что в. г. (н. г.) может как принадлежать этому множеству (напр., в случае отрезка [а, b]), так и не принадлежать ему (напр., в случае интервала (а, b)). Если в нек-ром множестве существует наибольшее наименьшее) число, то оно, очевидно, и является в. г. (н. г.) этого множества.

В. г. (н. г.) не ограниченного сверху (снизу) множества наз. символ +∞ (соответственно символ -∞). Если N - множество натуральных чисел: N = {1, 2, 3, ...}, то

inf N = 1, sup N = +∞.

Если множество всех целых чисел, положительных и отрицательных, то

inf = -∞, sup = +∞.

Всякое непустое множество действительных чисел имеет и притом единственную в. г. (н. г.) конечную или бесконечную. При этом всякое ограниченное сверху непустое множество имеет конечную в. г., а всякое ограниченное снизу - конечную н. г.

Иногда в. г. (н. г.) множества наз. его точной верхней (нижней) гранью, понимая в этом случае под термином в. г. (н. г.) множества любое число, ограничивающее его сверху (снизу). Реже, вместо термина в. г. (н. г.) множества, в том или ином из вышеуказанных смыслов, употребляется термин верхняя (нижняя) граница множества. В. г. (н. г.) функции, принимающей действительные значения, в частности последовательности действительных чисел, называют в. г. (н. г.) множества ее значений.

Лит.: [1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973; [3] Никольский С. М., Kуpc математического анализа, т. 1, М., 1973.

Л. Д. Кудрявцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.