ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО, поле вероятностей,- совокупность (Ω, A, P) непустого множества Ω, класса A подмножеств множества Ω, являющегося борелевским полем (т. е. замкнутым относительно теоретико-множественных операций, производимых в счетном числе) и распределения (вероятностной меры) P на A. Понятие В. п. принадлежит А. Н. Колмогорову [1]. Точки множества Ω наз. элементарными событиями, а само множество Ω - пространством элементарных событий. Принадлежащие A подмножества множества Ω наз. (случайными) событиями. Нередко ограничиваются рассмотрением лишь полных В. п., то есть пространств, удовлетворяющих требованию В ∈ A, A ⊂ B, P(B) = 0 ⇒ A ∈ A. Если (Ω, A, P) - произвольное В. п., то класс множеств вида A ∪ N, где А ∈ A и N ⊂ M, Р(М) = 0, образует борелевское поле Ā, а функция P̄ на Ā, определяемая формулой P̄(A ∪ N) = P(A), есть распределение на Ā. Пространство (Ω, Ā, P) полно и наз. пополнением (Ω, A, P). Иногда также ограничиваются рассмотрением лишь совершенных В. п., то есть таких, что для любой действительной A-измеримой функции f и любого множества Е на прямой, для к-рого f^-1(Е) ∈ A, существует борелевское множество В такое, что В ⊂ Е и P(f^-1(Е)) = P(f^-1(В)). В рамках совершенных В. п. невозможны нек-рые «патологические» явления (связанные с существованием условных вероятностей, определением независимых случайных величин и т. д.), возникающие в общей схеме. Не всегда тривиален вопрос о существовании В. п., удовлетворяющего тем или иным специальным требованиям. Одним из результатов такого рода является фундаментальная теорема Колмогорова о согласованных распределениях: пусть каждому упорядоченному конечному набору t₁, ..., t_n элементов множества Т отвечает распределение P_{t1, ..., tn} на борелевских множествах евклидова пространства ℝⁿ и пусть выполнены следующие условия согласованности:

1) P_{t1, ..., tn} (I_{y1, ..., yn}) = P_{tα1, ..., tαn} (I_{yα1, ..., yαn}) при всех y₁, ..., y_n ∈ ℝⁿ , где

I_{y1, ..., yn} = {x = (x₁, ..., x_n): x_i ≤ y_i, i = 1, ..., n}

и α₁, ..., α_n - произвольная перестановка чисел 1, ..., n;

2) P_{t1, ..., tn} (I_{y1, ..., yn-1}, ∞) = P_{t1, ..., tn-1} (I_{y1, ..., yn-1}).

Тогда на наименьшем борелевском поле A подмножеств произведения ℝ^T = {x = {x_t}, t ∈ Т, x_t ∈ R¹}, относительно к-рого измеримы все координатные функции t(x) = x_t, существует распределение P такое, что для любого конечного подмножества t₁, ..., t_n множества Т и любого n-мерного борелевского множества В справедливо равенство:

P_{t1, ..., tn}(B) = P{t₁(x), ..., t_n(x) ∈ B}.

Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949; [3] Неве Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969.

В. В. Сазонов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.