ВЕРОНЕЗЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

ВЕРОНЕЗЕ ОТОБРАЖЕНИЕ - специальное регулярное отображение проективного пространства; названо в честь Дж. Веронезе (G. Veronese). Пусть n, m - целые положительные числа, γ_nm = Cⁿ_n+m- 1, а РⁿР^ν_nm - проективные пространства над произвольным полем (или над кольцом целых чисел), рассматриваемые как схемы, u₀, ..., u_n- проективные координаты в Рⁿ, v_i0...in, i₀ + ... + i_n = m,- проективные координаты в Р^ν_nm. Отображение Веронезе есть морфизм

v_m: Рⁿ → Р^ν_nm,

задаваемый формулами v_i0...in = u₀^i₀, ..., u_n^i_n, i₀ + ... + i_n = m. В инвариантных терминах В. о. может быть определено как регулярное отображение, задаваемое полной линейной системой |mH|, где Н - гиперплоское сечение в Рⁿ. В. о. является замкнутым вложением, его образ v_m(Рⁿ) наз. многообразием Веронезе и задается уравнениями

v_i0...in v_j0...jn = v_k0...kn v_r0...rn.

где i₀ + j₀ = k₀ + r₀, ..., i_n + j_n = k_n + r_n. Напр., v₀(Р¹) есть кривая с уравнением x₀x₁ = x²₂ в Р². Степень многообразия Веронезе равна mⁿ. Для любой гиперповерхности

F = ∑_i0+...+in=m a_i0...in u₀^i₀, ..., u_n^i_n = 0

в Рⁿ ее образ относительно В. о. v_m является сечением многообразия Веронезе v_i(Рⁿ) гиперплоскостью

∑_{i0+...+in = m} a_i0...in v_i0...in = 0.

Этот факт позволяет использовать В. о. для сведения нек-рых задач о гиперповерхностях к случаю гиперплоских сечений.

Лит.: [1] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.