ВЕРБАЛЬНАЯ ПОДГРУППА

ВЕРБАЛЬНАЯ ПОДГРУППА - подгруппа V(G) группы G, порожденная всевозможными значениями всех слов из нек-рого множества V = {f_ν {x₁, ..., x_nν)| ν ∈ I}, когда х₁, х₂, ... независимо друг от друга пробегают всю группу G. В. п. нормальна; конгруэнция, определяемая с помощью В. п. на группе, является вербальной конгруэнцией (см. также Алгебраических систем многообразие).

Примеры В. п.: 1) коммутант G' группы G, определяемый коммутатором [х, у] = х^-1у^-1ху; 2) n-й коммутант G⁽ⁿ⁾ = (G^(n-1))'; 3) члены нижнего центрального ряда

Г₁(G) = G ⊇ Г₂(G) ⊇ ... ⊇ Г_n(G) ⊇ ...,

где Г_n(G) - В. п., определяемая коммутатором

[x₁, ..., x_n] = [[x₁, ..., x_n-1], x_n];

4) степень Gⁿ группы G, определяемая словом хⁿ.

При любом гомоморфизме φ справедливо равенство V(G) φ = V(Gφ). В частности, V(G) - вполне характеристическая подгруппа в G. Обратное верно для свободных групп, но не в общем случае: пересечение двух В. п. может и не быть В. п. Для прямого произведения групп

V(П × G_i) = П × V(G_i),

что, однако, уже неверно при переходе к декартову произведению.

Особо важную роль играют В. п. свободной группы X счетного ранга. Они составляют (дедекиндову) подрешетку решетки всех ее подгрупп. В. п. обладает свойством «монотонности»: если V(X) ≠ Е и V(R) ⊇ V(S), где R ⊳ X, S ⊳ X (R ⊳ X означает, что R является нормальным делителем группы X), то и R ⊇ S. В частности, V(R) = V(S) влечет R = S.

Лит.: [1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ., М., 1969

О. Н. Головин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.